Wyświetlany jest wykres h (x). Wykres wydaje się być ciągły w miejscu, gdzie zmienia się definicja. Pokaż, że h jest w rzeczywistości ciągłym odnajdywaniem lewego i prawego limitu i pokazaniem, że definicja ciągłości jest spełniona?

Odpowiedź:

Prosimy odnieść się do Wyjaśnienie.

Wyjaśnienie:

Pokazać że # h # jest ciągły, musimy sprawdzić jego

ciągłość w # x = 3 #.

Wiemy to, # h # będzie cd. w # x = 3 #, wtedy i tylko wtedy gdy, #lim_ (x do 3-) h (x) = h (3) = lim_ (x do 3+) h (x) ………………… ………. (ast) #.

Tak jak #x do 3-, x lt 3:. h (x) = - x ^ 2 + 4x + 1 #.

#:. lim_ (x do 3-) h (x) = lim_ (x do 3 -) - x ^ 2 + 4x + 1 = - (3) ^ 2 + 4 (3) + 1 #, # rArr lim_ (x do 3-) h (x) = 4 …………………………….. ………………. (ast ^ 1) #.

Podobnie, #lim_ (x do 3+) h (x) = lim_ (x do 3+) 4 (0,6) ^ (x-3) = 4 (0,6) ^ 0 #.

# rArr lim_ (x do 3+) h (x) = 4 …………………………….. …………….. (ast ^ 2) #.

Wreszcie, #h (3) = 4 (0,6) ^ (3-3) = 4 ………………………….. …… (ast ^ 3) #.

# (ast), (ast ^ 1), (ast ^ 2) i (ast ^ 3) rArr h ”jest ciąg dalszy na„ x = 3 #.

Odpowiedź:

Zobacz poniżej:

Wyjaśnienie:

Aby funkcja była ciągła w punkcie (nazwijmy ją „c”), musi być prawdziwe:

• #f (c) # musi istnieć.

• #lim_ (x-> c) f (x) # musi istnieć

Pierwsza jest zdefiniowana jako prawdziwa, ale musimy ją zweryfikować. W jaki sposób? Przypomnij sobie, że aby istniał limit, limity prawej i lewej ręki muszą być takie same. Matematycznie:

#lim_ (x-> c ^ -) f (x) = lim_ (x-> c ^ +) f (x) #

To właśnie będziemy musieli zweryfikować:

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Po lewej #x = 3 #, widzimy to #f (x) = -x ^ 2 + 4x + 1 #. Również na prawo od (i at) #x = 3 #, #f (x) = 4 (0,6 ^ (x-3)) #. Używając tego:

#lim_ (x-> 3) -x ^ 2 + 4x + 1 = lim_ (x-> 3) 4 (0,6 ^ (x-3)) #

Teraz oceniamy te limity i sprawdzamy, czy są równe:

#-(3^2) + 4(3) + 1 = 4(0.6^(3-3))#

#=> -9 + 12 + 1 = 4(0.6^0)#

#=> 4 = 4#

Sprawdziliśmy to #f (x) # jest ciągły na #x = 3 #.

Mam nadzieję, że to pomogło:)