Mamy x, y, t inRR takie, że x + y + t = 2, xy + yt + xt = 1. Jak udowodnić, że x, y, t w [0,4 / 3]?

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Skupiający się na # t #

Odnaleźć # ((min), (max)) t #

poddany

# g_1 (x, y, t) = x + y + t-2 = 0 # i

# g_2 (x, y, t) = xy + yt + xt-1 = 0 #

Tworząc lagranżjanina

#L (x, y, t, lambda_1, lambda_2) = t + lambda_1 g_1 (x, y, t) + lambda_2 g_2 (x, y, t) #

Warunki stacjonarne są

#grad L = 0 # lub

# {(lambda_1 + lambda_2 (t + y) = 0), (lambda_1 + lambda_2 (t + x) = 0), (1 + lambda_1 + lambda_2 (x + y) = 0), (t + x + y = 2), (tx + ty + xy = 1):} #

Rozwiązujemy dostajemy

# ((x, y, t, lambda_1, lambda_2), (1,1,0,1, -1), (1 / 3,1 / 3,4 / 3, -5 / 3,1)) # więc możemy to zobaczyć

#t w 0,4 / 3 #

Wykonanie tej procedury # x # i # y # otrzymujemy również

#x w 0, 4/3 # i

#y w 0, 4/3 #