Co to jest lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x?

Odpowiedź:

#lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = oo #

Wyjaśnienie:

Ekspansja Maclaurina # e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + ……. #

Stąd, # e ^ x-1 = x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + ……. #

#:. lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = lim_ (x-> oo) ((x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + ……) / x) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + x / (2!) + (x ^ 2) / (3!) + …….) #

# = oo #

Odpowiedź:

#lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = oo #

Wyjaśnienie:

Jeśli weźmiemy pod uwagę licznik i mianownik, widzimy to # e ^ x-1 # będzie rosnąć znacznie szybciej niż # x # gdy # x # jest wielki.

Oznacza to, że licznik „prześcignie” mianownik, a luka będzie coraz większa, więc w nieskończoności mianownik będzie po prostu nieistotny, pozostawiając nas:

#lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = lim_ (x-> oo) e ^ x-1 = oo #