Rozwiąż topór ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Odpowiedź:

Szybki szkic …

Wyjaśnienie:

Dany:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # z #a! = 0 #

Robi się to dość szybko, więc podam tylko szkic jednej metody …

Pomnożyć przez # 256a ^ 3 # i substytut #t = (4ax + b) # uzyskać przygnębiony kwartał monikalny postaci:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Zauważ, że ponieważ nie ma terminu # t ^ 3 #, musi uwzględniać formę:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

#color (biały) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Porównując współczynniki i nieco zmieniając układ, mamy:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Więc znajdujemy:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (biały) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (biały) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Pomnożenie, mnożenie przez # A ^ 2 # i nieco zmieniając układ, staje się to:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Ten „sześcienny w # A ^ 2 #„ma co najmniej jeden prawdziwy korzeń. W idealnym przypadku ma on pozytywny prawdziwy pierwiastek, który daje dwie możliwe wartości rzeczywiste #ZA#. Niezależnie od tego zrobi to każdy root tego sześciennego.

Biorąc pod uwagę wartość #ZA#, mamy:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Stąd mamy dwie kwadraty do rozwiązania.