Woda wycieka na podłogę tworzy okrągły basen. Promień basenu wzrasta z szybkością 4 cm / min. Jak szybko rośnie obszar basenu, gdy promień wynosi 5 cm?

Odpowiedź:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ min" #

Wyjaśnienie:

Po pierwsze, powinniśmy zacząć od znanego równania dotyczącego okręgu, puli i jego promienia:

# A = pir ^ 2 #

Chcemy jednak zobaczyć, jak szybko rośnie obszar puli, co brzmi jak tempo … które brzmi jak pochodna.

Jeśli weźmiemy pochodną # A = pir ^ 2 # w odniesieniu do czasu # t #, widzimy to:

# (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #

(Nie zapominaj, że reguła łańcucha obowiązuje po prawej stronie, za pomocą # r ^ 2 #- to jest podobne do ukrytego zróżnicowania.)

Chcemy to ustalić # (dA) / dt #. Pytanie to nam powiedziało # (dr) / dt = 4 # kiedy powiedział „promień puli rośnie z szybkością #4# cm / min ”, a także wiemy, że chcemy znaleźć # (dA) / dt # gdy # r = 5 #. Podłączając te wartości, widzimy, że:

# (dA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Aby wyrazić to słowami, mówimy:

Powierzchnia basenu rośnie w tempie # bb40pi # cm# "" ^ bb2 #/ min, gdy promień okręgu jest # bb5 # cm.

Woda wycieka z odwróconego zbiornika stożkowego z szybkością 10 000 cm3 / min w tym samym czasie woda jest pompowana do zbiornika ze stałą szybkością Jeśli zbiornik ma wysokość 6 m, a średnica na górze wynosi 4 mi jeśli poziom wody wzrasta z prędkością 20 cm / min, gdy wysokość wody wynosi 2 m, jak znaleźć tempo, w jakim woda jest pompowana do zbiornika?

Niech V będzie objętością wody w zbiorniku, w cm ^ 3; niech h będzie głębokością / wysokością wody w cm; i niech r będzie promieniem powierzchni wody (na górze), w cm. Ponieważ zbiornik jest stożkiem odwróconym, tak i masa wody. Ponieważ zbiornik ma wysokość 6 mi promień na górze 2 m, podobne trójkąty oznaczają, że frak {h} {r} = frak {6} {2} = 3, tak że h = 3r. Objętość odwróconego stożka wody wynosi wtedy V = frak {1} {3} p r ^ {2} h = p r ^ {3}. Teraz rozróżnij obie strony w odniesieniu do czasu t (w minutach), aby uzyskać frac {dV} {dt} = 3 p r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (w tym przypadku uż

Olej wyciekający z pękniętego tankowca rozprzestrzenia się w kręgu na powierzchni oceanu. Powierzchnia wycieku wzrasta z szybkością 9π m² / min. Jak szybko rośnie promień wycieku, gdy promień wynosi 10 m?

Dr | _ (r = 10) = 0,45 m // min. Ponieważ obszar okręgu jest A = pi r ^ 2, możemy wziąć różnicę po każdej stronie, aby uzyskać: dA = 2pirdr Stąd promień zmienia się w tempie dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir ) Zatem dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45 m // min.

Gdy basen brodzący Jane był nowy, można go napełnić w ciągu 6 minut wodą z węża. Teraz, gdy basen ma kilka nieszczelności, zajmuje tylko 8 minut, aby cała woda wyciekła z pełnego basenu. Jak długo zajmuje wypełnienie nieszczelnego basenu?

24 minuty Jeśli całkowita objętość puli wynosi x jednostek, to co minutę x / 6 jednostek wody umieszcza się w basenie. Podobnie x / 8 jednostek wody wycieka z basenu co minutę. Stąd (+) x / 6 - x / 8 = x / 24 jednostki wody na minutę. W związku z tym pula zajmuje 24 minuty.