Jak znaleźć punkty krytyczne dla f (x) = - (sinx) / (2 + cosx) i lokalnego maksimum i min?

Odpowiedź:

Punkty krytyczne to:

# ((2pi) / 3, sqrt (3) / 3) #jest minimalnym punktem

# ((4 (pi) / 3), sqrt (3) / 3) # to maksymalny punkt.

Wyjaśnienie:

Aby znaleźć krytyczne punkty, musimy je znaleźć #f '(x) #

następnie rozwiąż #f '(x) = 0 #

#f '(x) = - ((sinx)' (2 + cosx) - (2 + cosx) 'sinx) / (2 + cosx) ^ 2 #

#f '(x) = - (cosx (2 + cosx) - (- sinx) sinx) / (2 + cosx) ^ 2 #

#f '(x) = - (2cosx + cos ^ 2 (x) + sin ^ 2 (x)) / (2 + cosx) ^ 2 #

Od # cos ^ 2 (x) + sin ^ 2 (x) = 1 # mamy:

#f '(x) = - (2cosx + 1) / (2 + cosx) ^ 2 #

Pozwól nam się ulżyć #f '(x) = 0 #znaleźć krytyczne punkty:

#f '(x) = 0 #

# rArr- (2cosx + 1) / (2 + cosx) ^ 2 = 0 #

# rArr- (2cosx + 1) = 0 #

#rArr (2cosx + 1) = 0 #

# rArr2cosx = -1 #

# rArrcosx = -1 / 2 #

#cos (pi- (pi / 3)) = - 1/2 #

lub

#cos (pi + (pi / 3)) = - 1/2 #

W związku z tym, # x = pi- (pi / 3) = (2pi) / 3 #

lub # x = pi + (pi / 3) = (4pi) / 3 #

Obliczmy #f ((2pi) / 3) = - sin ((2pi) / 3) / (2 + cos ((2pi) / 3) #

#f ((2pi) / 3) = - (sqrt (3) / 2) / (2-1 / 2) #

#f ((2pi) / 3) = - (sqrt (3) / 2) / (3/2) #

#f ((2pi) / 3) = - (sqrt (3) / 3) #

Od#f (x) # maleje # (0, (2pi) / 3) #

Następnie# (((2pi) / 3), - sqrt (3) / 3) # jest minimalnym punktem

Od tego czasu funkcja wzrasta do # x = (4 (pi) / 3) # to punkt

# ((4 (pi) / 3), sqrt (3) / 3) # to maksymalny punkt.