W jakich nietrywialnych okolicznościach (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2?

Odpowiedź:

W takiej sytuacji # AB = 0 #

Chcemy znaleźć kiedy # (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 #.

Zaczynamy od rozwinięcia lewej strony za pomocą idealnej kwadratowej formuły

# (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + 2AB + B ^ 2 #

Widzimy to # (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 # iff # 2AB = 0 #

Zobacz poniżej.

Jeśli #A, B # są wtedy wektory

# (A + B) cdot (A + B) = norma (A) ^ 2 + 2 A cdot B + norma (B) ^ 2 = norma (A) ^ 2 + norma (B) ^ 2 #

wtedy koniecznie #A cdot B = 0 rArr A bot B # więc # A, B # są ortogonalne.

Niektóre możliwości …

Dany:

# (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 #

Kilka możliwości …

Pole charakterystyki #2#

W polu charakterystyki #2#, dowolna wielokrotność #2# jest #0#

Więc:

# (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + kolor (czerwony) (anuluj (kolor (czarny) (2AB))) + B ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 #