Jaki jest rzut (3i + 2j - 6k) na (3i - 4j + 4k)?

Odpowiedź:

Projekcja wektorowa jest #< -69/41,92/41,-92/41 >#, projekcja skalarna jest # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Wyjaśnienie:

Dany # veca = (3i + 2j-6k) # i # vecb = (3i-4j + 4k) #, możemy znaleźć #proj_ (vecb) veca #, the wektor projekcja # veca # na # vecb # używając następującej formuły:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Oznacza to, że iloczyn punktowy dwóch wektorów jest podzielony przez wielkość # vecb #, pomnożone przez # vecb # podzielona przez jego wielkość. Druga wielkość jest wielkością wektorową, ponieważ dzielimy wektor przez skalar. Zauważ, że dzielimy się # vecb # przez jego wielkość w celu uzyskania wektor jednostkowy (wektor o wielkości #1#). Można zauważyć, że pierwsza wielkość jest skalarna, ponieważ wiemy, że kiedy otrzymamy iloczyn punktowy dwóch wektorów, wypadkową jest skalar.

Dlatego też skalarny projekcja #za# na #b# jest #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, także napisane # | proj_ (vecb) veca | #.

Możemy zacząć od przyjęcia iloczynu punktowego dwóch wektorów, które można zapisać jako # veca = <3,2, -6> # i # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Wtedy możemy znaleźć wielkość # vecb # pobierając pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów każdego ze składników.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

A teraz mamy wszystko, czego potrzebujemy, aby znaleźć projekcję wektorową # veca # na # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Możesz rozdzielić współczynnik do każdego komponentu wektora i napisać jako:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

Projekcja skalarna # veca # na # vecb # to tylko pierwsza połowa formuły, gdzie #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Dlatego projekcja skalarna jest # -23 / sqrt (41) #, co nie upraszcza dalej, oprócz racjonalizacji mianownika, jeśli jest to pożądane, dawania # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Mam nadzieję, że to pomoże!