Odpowiedź:
Już odpowiedziałem tutaj.
Wyjaśnienie:
Musisz najpierw znaleźć # sin18 ^ @ #, dla których szczegóły są dostępne tutaj.
Wtedy możesz dostać # cos36 ^ @ # jak pokazano tutaj.
Odpowiedź:
My rozwiązujemy #cos (2 theta) = cos (3 theta) # lub # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # dla # x = cos 144 ^ circ # i dostać #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}).
Wyjaśnienie:
Dostajemy #cos 36 ^ circ # lekko pośrednio z wzoru podwójnego i potrójnego kąta dla cosinusu. To całkiem fajne, jak to się robi i ma niespodziankę.
Skupimy się na #cos 72 ^ circ #. Kąt # theta = 72 ^ circ # spełnia
#cos (2 theta) = cos (3 theta).
Rozwiążmy to za # theta #, przypominając #cos x = cos a # ma rozwiązania #x = pm a + 360 ^ circ k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # lub # -theta = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ circ k #
Obejmuje to # 360 ^ circ k # więc możemy upuścić część „lub”.
Nie piszę tu żadnej tajemnicy (mimo zakończenia niespodzianki), więc o tym wspomnę #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # jest również poprawnym rozwiązaniem i widzimy, jak jest to związane z pytaniem.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Teraz pozwól # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Wiemy # x = cos (0 razy 72 ^ circ) = 1 # to rozwiązanie tak # (x-1) # jest czynnikiem:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
Kwadrat ma korzenie
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
Trzeba być pozytywnym #cos 72 ^ circ # i negatywny #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
To jest odpowiedź. Niespodzianka to połowa Złotego Stosunku!
