Pytanie # 69feb

Odpowiedź:

Normalna linia: # y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Linia styczna: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Wyjaśnienie:

Dla intuicji: Wyobraź sobie, że funkcja #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # opisuje wysokość jakiegoś terenu, gdzie # x # i # y # są współrzędnymi w płaszczyźnie i #ln (y) # zakłada się, że jest to logarytm naturalny. Wtedy wszystko # (x, y) # takie #f (x, y) = a # (wysokość) równa się pewnej stałej #za# nazywane są krzywymi poziomu. W naszym przypadku stała wysokość #za# wynosi zero, ponieważ #f (x, y) = 0 #.

Być może znasz mapy topograficzne, w których zamknięte linie wskazują linie o jednakowej wysokości.

Teraz gradient #grad f (x, y) = ((częściowy f) / (częściowy x), (częściowy f) / (częściowy x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # podaje nam kierunek w punkcie # (x, y) # w którym #f (x, y) # (wysokość) zmienia się najszybciej. Jest to albo prosto w górę, albo prosto w dół wzgórza, o ile nasz teren jest gładki (różniczkowalny), a my nie jesteśmy na szczycie, na dnie ani na płaskowyżu (punkt ekstremum). Jest to w rzeczywistości kierunek normalny do krzywej o stałej wysokości, takiej jak przy # (x, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

Dlatego też normalna linia w tym kierunku przechodzi # (2, e ^ 2) # można opisać jako

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, gdzie #s in mathbbR # jest prawdziwym parametrem. Możesz wyeliminować # s # wyrazić # y # jako funkcja # x # jeśli wolisz, znajdź

# y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Pochodna kierunkowa w kierunku stycznym musi być #0# (co oznacza, że wysokość się nie zmienia), a więc wektor styczny # (u, v) # musi spełniać

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = e ^ 2u #, gdzie # cdot # oznacza produkt kropkowany. Więc # (u, v) = (1, e ^ 2) # to jeden ważny wybór. Dlatego też linia styczna iść przez # (2, e ^ 2) # można opisać jako

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t in mathbbR #.

Rozwiązanie dla # y # daje to

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

W końcu powinieneś to sprawdzić # (2, e ^ 2) # leży na krzywej #f (x, y) #, na linii stycznej i na linii normalnej.