Jak to rozszerzyć w serii Maclaurin? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

Odpowiedź:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n +1) ^ 2 #

Visual: Sprawdź ten wykres

Wyjaśnienie:

Wyraźnie nie możemy oceniać tej całki, ponieważ używa ona zwykłych technik integracji, których się nauczyliśmy. Ponieważ jednak jest to całka określona, możemy użyć serii MacLaurin i zrobić to, co nazywamy integracją termin po terminie.

Musimy znaleźć serię MacLaurin. Ponieważ nie chcemy znaleźć n-tej pochodnej tej funkcji, musimy spróbować dopasować ją do jednej z serii MacLaurin, którą już znamy.

Po pierwsze, nie lubimy #log#; chcemy to zrobić # ln #. Aby to zrobić, możemy po prostu zastosować zmianę formuły podstawowej:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Więc mamy:

# int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt #

Dlaczego to robimy? Cóż, teraz zauważ to # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Dlaczego to takie wyjątkowe? Dobrze, # 1 / (1-x) # to jedna z naszych powszechnie używanych serii MacLaurin:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…dla wszystkich # x # na #(-1, 1#

Możemy więc wykorzystać tę relację na naszą korzyść i zastąpić ją #ln (1-t) # z # int-1 / (1-t) dt #, co pozwala nam to zastąpić # ln # termin z serii MacLaurin. Łączenie tego daje:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Ocena całki:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Anulowanie # t # termin w mianowniku:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

A teraz bierzemy definitywną całkę, którą zaczęliśmy od problemu:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Uwaga: Obserwuj, w jaki sposób nie musimy się teraz martwić o dzielenie przez zero w tym problemie, co byłoby problemem w oryginalnej wersji z powodu # t # termin w mianowniku. Ponieważ zostało to anulowane w poprzednim kroku, pokazuje, że nieciągłość jest usuwalna, co działa dobrze dla nas.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # ocenione z #0# do # x #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Upewnij się jednak, że zdajesz sobie sprawę, że ta seria jest dobra tylko w odstępie czasu #(1, 1#, ponieważ seria MacLaurin, której użyliśmy powyżej, jest zbieżna tylko w tym przedziale. Sprawdź ten wykres, aby lepiej zrozumieć, jak to wygląda.

Mam nadzieję, że to pomogło:)