Jak znaleźć pierwsze trzy terminy serii Maclaurina dla f (t) = (e ^ t - 1) / t przy użyciu serii Maclaurin e ^ x?

Wiemy, że seria Maclaurin # e ^ x # jest

#sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) #

Możemy również uzyskać tę serię, używając rozszerzenia Maclaurina #f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) # i fakt, że wszystkie pochodne # e ^ x # jest wciąż # e ^ x # i # e ^ 0 = 1 #.

Teraz wystarczy zastąpić powyższą serię w

# (e ^ x-1) / x #

# = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x #

# = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x #

# = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / x #

# = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) #

Jeśli chcesz, aby indeks zaczynał się od # i = 0 #, po prostu zastąp # n = i + 1 #:

# = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1)!) #

Teraz po prostu oceń pierwsze trzy warunki do uzyskania

# ~~ 1 + x / 2 + x ^ 2/6 #

Pierwsze trzy terminy z 4 liczbami całkowitymi są w arytmetyce P. Trzy ostatnie terminy są w Geometric.P.Jak znaleźć te 4 liczby? Podane (pierwszy + ostatni termin = 37) i (suma dwóch liczb całkowitych w środku to 36)

„Reqd. Liczby całkowite to”, 12, 16, 20, 25. Nazwijmy terminy t_1, t_2, t_3, i, t_4, gdzie, t_i w ZZ, i = 1-4. Biorąc pod uwagę, że terminy t_2, t_3, t_4 tworzą GP, bierzemy, t_2 = a / r, t_3 = a, i, t_4 = ar, gdzie, ane0 .. Również, że, t_1, t_2 i, t_3 są w AP mamy, 2t_2 = t_1 + t_3 rArr t_1 = 2t_2-t_3 = (2a) / ra. Tak więc, mamy, Seq., T_1 = (2a) / r-a, t_2 = a / r, t_3 = a, i, t_4 = ar. Przez to, co jest podane, t_2 + t_3 = 36rArra / r + a = 36, tj. A (1 + r) = 36r ....................... .................................... (ast_1). Dalej, t_1 + t_4 = 37, ....... "[Biorąc pod uwagę]" rArr (2a) / r-a + ar

Jak znaleźć wzór MacLaurina dla f (x) = sinhx i użyć go do przybliżenia f (1/2) w granicach 0,01?

Sinh (1/2) ~~ 0.52 Znamy definicję sinh (x): sinh (x) = (e ^ xe ^ -x) / 2 Ponieważ znamy serię Maclaurin dla e ^ x, możemy jej użyć do skonstruuj jeden dla sinh (x). e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) ... Możemy znaleźć serię dla e ^ - x przez zastąpienie x przez -x: e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n !) x ^ n = 1-x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) ... Możemy odjąć te dwa od siebie, aby znaleźć licznik definicji sinh: kolor (biały) (- e ^ -x.) e ^ x = kolor (biały) (....) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) ... kolor (biały) (e ^ x

3, 12, 48 to pierwsze trzy terminy sekwencji geometrycznej. Jaka jest liczba czynników równa 4 w 15. kadencji?

14 Pierwszy termin, 3, nie ma 4 jako czynnika. Drugi termin, 12, ma 4 jako jeden czynnik (to 3 pomnożone przez 4). Trzeci termin, 48, ma dwukrotnie współczynnik 4 (to 12 pomnożone przez 4). Dlatego sekwencja geometryczna musi zostać utworzona przez pomnożenie poprzedniego terminu przez 4. Ponieważ każdy termin ma jeden mniejszy współczynnik 4 niż jego liczba terminowa, piętnasty termin musi mieć 14 4s.