Jak znaleźć wzór MacLaurina dla f (x) = sinhx i użyć go do przybliżenia f (1/2) w granicach 0,01?

Odpowiedź:

#sinh (1/2) ~~ 0,52 #

Wyjaśnienie:

Znamy definicję dla #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Ponieważ znamy serię Maclaurin dla # e ^ x #, możemy go użyć do skonstruowania jednego #sinh (x) #.

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Możemy znaleźć serię dla # e ^ -x # zastępując # x # z # -x #:

# e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Możemy odjąć te dwa od siebie, aby znaleźć licznik # sinh # definicja:

#color (biały) (- e ^ -x.) e ^ x = kolor (biały) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + X ^ 5 / (5!) … #

#color (biały) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# e ^ xe ^ -x = kolor (biały) (lllllllll) 2xcolor (biały) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) kolor (biały) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Widzimy, że wszystkie równe warunki anulują się i wszystkie dziwne terminy są podwójne. Możemy reprezentować ten wzór w następujący sposób:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Aby zakończyć #sinh (x) # serialu, musimy to po prostu podzielić #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo anuluj2 / (anuluj2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Teraz chcemy obliczyć #f (1/2) # z dokładnością co najmniej #0.01#. Znamy tę ogólną formę błędu Lagrange'a związaną z wielomianem taylor n-tego stopnia # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (X-c) ^ (n + 1) | # gdzie # M # jest górną granicą n-tej pochodnej w przedziale od #do# do # x #.

W naszym przypadku rozszerzenie to seria Maclaurin, więc # c = 0 # i # x = 1/2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Wyższe pochodne #sinh (x) # albo będzie #sinh (x) # lub #cosh (x) #. Jeśli weźmiemy pod uwagę ich definicje, widzimy to #cosh (x) # zawsze będzie większy niż #sinh (x) #, więc powinniśmy wypracować # M #-połączony dla #cosh (x) #

Funkcja cosinusa hiperbolicznego zawsze się zwiększa, więc największa wartość interwału będzie wynosić #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Teraz podłączamy to do ograniczenia błędu Lagrange'a:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) #

Chcemy # | R_n (x) | # być mniejszy niż #0.01#, więc próbujemy trochę # n # wartości do momentu, aż dojdziemy do tego punktu (mniejsza ilość terminów w wielomianie, tym lepiej). Znaleźliśmy to # n = 3 # jest pierwszą wartością, która da nam ograniczenie błędu mniejsze niż #0.01#, więc musimy użyć wielomianu trzeciego stopnia.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0,52 #