Załóżmy, że nie mam wzoru na g (x), ale wiem, że g (1) = 3 i g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) dla wszystkich x. Jak użyć liniowego przybliżenia do oszacowania g (0.9) i g (1.1)?

Zrób ze mną trochę, ale wymaga równania nachylenia linii na podstawie pierwszej pochodnej … I chciałbym cię poprowadzić do drogi do robić odpowiedź, nie tylko dać ty odpowiedź …

Dobra, zanim przejdę do odpowiedzi, pozwolę ci wejść w (nieco) żartobliwą dyskusję, którą mieliśmy z moim kolegą z biura …

Ja: „Okej, czekaj … Nie znasz g (x), ale wiesz, że pochodna jest prawdziwa dla wszystkich (x) … Dlaczego chcesz zrobić liniową interpretację opartą na pochodnej? integralna pochodna, a ty masz oryginalną formułę … Dobrze?

OM: „Czekaj, co?” czyta pytanie powyżej „Święta moly, nie robiłem tego od lat!”

Prowadzi to do dyskusji między nami, jak to zintegrować, ale profesor naprawdę chce (prawdopodobnie) nie wykonywać operacji odwrotnej (która w niektórych przypadkach może być naprawdę HARD), ale żeby zrozumieć co pierwsza pochodna faktycznie jest.

Więc porysowaliśmy nasze głowy i rozmyślaliśmy przez nasze zbiorowe wspomnienia związane z wiekiem i ostatecznie zgodziliśmy się, że druga pochodna to lokalne maksima / minima, a pierwsza pochodna (ta, na której ci zależy) to nachylenie krzywej w danym punkcie.

Co to ma wspólnego z ceną robaków w Meksyku? Cóż, jeśli założymy, że nachylenie pozostaje względnie stałe dla wszystkich „pobliskich” punktów (aby to wiedzieć, trzeba spojrzeć na krzywą i użyć dobrego osądu na podstawie tego, co wiemy o rzeczach - ale ponieważ to jest to, co wasz prof. chce, to jest to, co dostaje!), wtedy możemy zrobić interpolację liniową - co jest dokładnie tym, o co prosiłeś!

No dobrze - mięso odpowiedzi:

Nachylenie (m) funkcji o znanej nam wartości to:

m =#sqrt (x ^ 2 + 15) #

Dlatego nachylenie przy znanym punkcie (x = 1) wynosi:

m =#sqrt (1 ^ 2 + 15) #

m =#sqrt (1 + 15) #

m =#sqrt (16) #

m = 4

Pamiętaj więc, że formuła linii (potrzebna do interpolacji liniowej) to:

# y = mx + b #

Oznacza to, że dla punktów „bliskich” naszej znanej wartości, możemy przybliżyć wartości jako leżące na linii o nachyleniu m, i przecięcia y-b. lub:

#g (x) = mx + b #

#g (x) = 4x + b #

Więc co z tego? #b#?

Rozwiązujemy to za pomocą naszej znanej wartości:

#g (1) = 3 #

# 4 (1) + b = 3 #

# 4 + b = 3 #

# b = -1 #

Teraz znamy wzór na linię, która przybliża naszą krzywą w znanym punkcie:

g (x#~=#1) = 4x-1

Nie wstawiamy więc punktów przybliżenia, aby uzyskać przybliżoną wartość, lub:

#g (0,9) ~ = 4 (0,9) -1 #

#g (0.9) ~ = 3.6-1 #

#g (0.9) ~ = 2.6 #

i

#g (1.1) ~ = 4 (1.1) -1 #

#g (1.1) ~ = 4.4-1 #

#g (1.1) ~ = 3.4 #

Łatwo, prawda?