Pytanie # 0df97

Odpowiedź:

Odpowiedź na 4 jest # e ^ -2 #.

Wyjaśnienie:

Problemem jest:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Teraz jest to trudny problem. Rozwiązanie polega na bardzo ostrożnym rozpoznawaniu wzoru. Możesz przypomnieć sobie definicję #mi#:

# e = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2.718 … #

Gdybyśmy mogli przepisać limit jako coś zbliżonego do definicji #mi#, mielibyśmy naszą odpowiedź. Więc spróbujmy.

Zauważ, że #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # jest równa:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Możemy podzielić frakcje w ten sposób:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Jesteśmy tam! Rozważmy a #-2# od góry i dołu:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (anuluj (-2)) / (anuluj (-2) (- x-2))) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

Zastosujmy substytucję # u = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Właściwości wykładników mówią: # x ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Więc #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # jest równa:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Właściwości wykładników mówią również, że: # x ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Co oznacza, że to dalej ogranicza się do:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Zgodnie z definicją, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; i użycie substytucji bezpośredniej na drugiej granicy daje:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Więc rozwiązaniem jest …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (e) ^ - 2 (1) #

# = e ^ -2 #