Jak użyć pierwszego testu pochodnego do określenia ekstrema lokalnego y = sin x cos x?

Odpowiedź:

Ekstremum dla # y = sin (x) cos (x) # są

# x = pi / 4 + npi / 2 #

z # n # względna liczba całkowita

Wyjaśnienie:

Być #f (x) # funkcja reprezentująca odmianę # y # z repsect to # x #.

Być #f '(x) # pochodna #f (x) #.

#fa)# jest nachyleniem #f (x) # krzywa na # x = a # punkt.

Gdy nachylenie jest dodatnie, krzywa wzrasta.

Gdy nachylenie jest ujemne, krzywa maleje.

Gdy nachylenie jest zerowe, krzywa pozostaje na tej samej wartości.

Kiedy krzywa osiągnie ekstremum, przestanie rosnąć / maleć i zacznie spadać / wzrastać. Innymi słowy, nachylenie będzie przechodzić od wartości dodatniej do ujemnej - lub ujemnej do dodatniej - przez wartość zerową.

Dlatego, jeśli szukasz ekstrema funkcji, powinieneś poszukać wartości zerowych jej pochodnych.

N.B. Jest sytuacja, w której pochodna jest zerowa, ale krzywa nie osiąga ekstremum: nazywana jest punktem przegięcia. krzywa chwilowo przestanie rosnąć / maleć, a następnie wznowi jej wzrost / spadek. Dlatego należy również sprawdzić, czy znak nachylenia zmienia się wokół jego wartości zerowej.

Przykład: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / dx #

# = cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Teraz mamy wzór na #f '(x) #, będziemy szukać jego wartości null:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Rozwiązania są # pi / 4 + npi / 2 # z # n # względna liczba całkowita.

Odpowiedź:

Nawet jeśli planujemy użyć pierwszego testu pochodnego, warto to zauważyć #y = 1/2 sin (2x) #.

Wyjaśnienie:

Po dokonaniu tej obserwacji tak naprawdę nie potrzebujemy rachunku różniczkowego, aby znaleźć ekstrema.

Możemy polegać na naszej wiedzy na temat trygonometrii i wykresów funkcji sinusoidalnych

Maksymalna wartość (1/2) pojawi się, gdy # 2x = pi / 2 + 2pik # albo kiedy #x = pi / 4 + pik # dla # k # Liczba całkowita.

Minimum występuje przy #x = 3pi / 4 + pik # dla # k # Liczba całkowita.

Możemy użyć pochodnej, ale tak naprawdę jej nie potrzebujemy.

Używanie pochodnej

Po przepisaniu # y #, możemy to szybko zobaczyć #y '= cos (2x) #

Tak więc liczby krytyczne dla # y # są # 2x = pi / 2 + 2pik # i # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (kiedy cosinus jest #0#) lub

# x = pi / 4 + pik # i # x = (3pi) / 4 + pik #

Sprawdzanie znaku #y '= cos (2x) #, znajdziemy maksymalne wartości w pierwszym zestawie liczb krytycznych i wartości minimalnych w drugim.