Rozwiąż x²-3 <3. To wygląda na proste, ale nie mogłem znaleźć właściwej odpowiedzi. Odpowiedź brzmi (- 5, -1) U (1, 5). Jak rozwiązać tę nierówność?

Odpowiedź:

Rozwiązaniem jest to, że nierówność powinna być #abs (x ^ 2-3) <kolor (czerwony) (2) #

Wyjaśnienie:

Jak zwykle z wartościami bezwzględnymi, podziel na przypadki:

Przypadek 1: # x ^ 2 - 3 <0 #

Jeśli # x ^ 2 - 3 <0 # następnie #abs (x ^ 2-3) = - (x ^ 2-3) = -x ^ 2 + 3 #

a nasza (poprawiona) nierówność staje się:

# -x ^ 2 + 3 <2 #

Dodaj # x ^ 2-2 # po obu stronach, aby dostać # 1 <x ^ 2 #

Więc #x in (-oo, -1) uu (1, oo) #

Na podstawie stanu sprawy, którą mamy

# x ^ 2 <3 #, więc #x in (-sqrt (3), sqrt (3)) #

Stąd:

#x in (-sqrt (3), sqrt (3)) nn ((-oo, -1) uu (1, oo)) #

# = (-sqrt (3), -1) uu (1, sqrt (3)) #

Przypadek 2: # x ^ 2 - 3> = 0 #

Jeśli # x ^ 2 - 3> = 0 # następnie #abs (x ^ 2-3) = x ^ 2 + 3 # a nasza (poprawiona) nierówność staje się:

# x ^ 2-3 <2 #

Dodaj #3# po obu stronach, aby uzyskać:

# x ^ 2 <5 #, więc #x in (-sqrt (5), sqrt (5)) #

Na podstawie stanu sprawy, którą mamy

# x ^ 2> = 3 #, więc #x in (-oo, -sqrt (3) uu sqrt (3), oo) #

Stąd:

#x in ((-oo, -sqrt (3) uu sqrt (3), oo)) nn (-sqrt (5), sqrt (5)) #

# = (-sqrt (5), -sqrt (3) uu sqrt (3), sqrt (5)) #

Łączny:

Łącząc przypadek 1 i przypadek 2 otrzymujemy:

#x in (-sqrt (5), -sqrt (3) uu (-sqrt (3), -1) uu (1, sqrt (3)) uu sqrt (3), sqrt (5)) #

# = (- sqrt (5), -1) uu (1, sqrt (5)) #