Lim_ (x-> 0) (sqrt (1 + x ^ 2) -sqrt (1 + x)) / (sqrt (1 + x ^ 3) -sqrt (1 + x)) =?

Odpowiedź:

#lim_ (x-> 0) (sqrt (1 + x ^ 2) -sqrt (1 + x)) / (sqrt (1 + x ^ 3) -sqrt (1 + x)) = 1 #

Wyjaśnienie:

Korzystając z reguły L'Hopital, wiemy o tym #lim_ (x-> a) (f (x)) / (g (x)) => (f '(a)) / (g' (a)) #

#f (x) = sqrt (1 + x ^ 2) -sqrt (1 + x) #

# = (1 + x ^ 2) ^ (1/2) - (1 + x) ^ (1/2) #

#f '(x) = x (1 + x ^ 2) ^ (- 1/2) - (1 + x) ^ (- 1/2) / 2 #

#g (x) = sqrt (1 + x ^ 3) -sqrt (1 + x) #

# = (1 + x ^ 3) ^ (1/2) - (1 + x) ^ (1/2) #

#g '(x) = (3x ^ 2 (1 + x ^ 3) ^ (- 1/2)) / 2- (1 + x) ^ (- 1/2) / 2 #

#lim_ (x-> 0) (sqrt (1 + x ^ 2) -sqrt (1 + x)) / (sqrt (1 + x ^ 3) -sqrt (1 + x)) => (0 (1+) 0 ^ 2) ^ (- 1/2) - (1 + 0) ^ (- 1/2) / 2) / ((3 (0) ^ 2 (1 + 0 ^ 3) ^ (- 1/2)) / 2- (1 + 0) ^ (- 1/2) / 2) #

#=(-(1+0)^(-1/2)/2)/(-(1+0)^(-1/2)/2)#

# = anuluj (- (1 + 0) ^ (- 1/2) / 2) / anuluj (- (1 + 0) ^ (- 1/2) / 2) = 1 #

Poproszono mnie o ocenę następującego wyrażenia limitu: lim_ (xtooo) (3x-2) / (8x + 7) Pokaż wszystkie kroki. ? Dzięki

Lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] = kolor (niebieski) (3/8 Oto dwie różne metody, których możesz użyć do tego problemu inaczej niż metoda Douglasa K. wykorzystująca l'Hôpital) Jesteśmy proszeni o znalezienie limitu lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] Najprostszym sposobem na to jest podłączenie bardzo dużej liczby dla x (np. 10 ^ 10) i zobacz wynik, wartość, która wychodzi, jest zazwyczaj limitem (nie zawsze możesz to zrobić, więc ta metoda jest zazwyczaj nierozważna): (3 (10 ^ 10) -2) / (8 (10 ^ 10) +7) ~~ kolor (niebieski) (3/8 Jednakże, poniżej jest pewny sposób na znalezienie limitu: Mamy:

Co to jest lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x?

Lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = oo Ekspansja Maclaurina e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + .. ..... Stąd e ^ x-1 = x + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) + .......:. lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = lim_ (x-> oo) ((x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + .... ..) / x) = lim_ (x-> oo) (1 + x / (2!) + (x ^ 2) / (3!) + .......) = oo

Dlaczego lim_ (x-> oo) (sqrt (4x ^ 2 + x-1) -sqrt (x ^ 2-7x + 3)) = lim_ (x-> oo) (3x ^ 2 + 8x-4) / ( 2x + ... + x + ...) = oo?

„Zobacz wyjaśnienie” „Pomnóż przez” 1 = (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) „Następnie otrzymasz„ lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt ( x ^ 2 - 7 x + 3)) "(ponieważ" (ab) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 ")" = lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 (1 + 1 / (4x) - 1 / (4x ^ 2))) + sqrt (x ^ 2 (1 - 7 / x + 3 / x ^ 2)) = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (2x sqrt (1 + 0 - 0) + x sqrt (1 - 0 + 0)) "(ponieważ" lim_ {x-> oo} 1 / x = 0 ")" = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4