Trójkąt ma boki A, B i C. Boki A i B mają długość odpowiednio 2 i 4. Kąt między A i C wynosi (7pi) / 24, a kąt między B i C wynosi (5pi) / 8. Jaki jest obszar trójkąta?

Odpowiedź:

Obszar jest # sqrt {6} - sqrt {2} # kwadratowe jednostki, około #1.035#.

Wyjaśnienie:

Obszar jest połową iloczynu dwóch stron razy sinus kąta między nimi.

Tutaj mamy dwie strony, ale nie kąt między nimi, otrzymujemy inne dwa kąty zamiast. Najpierw określ brakujący kąt, zauważając, że suma wszystkich trzech kątów wynosi #Liczba Pi# radiany:

# heta = p- {7 p} / {24} - {5 p} / {8} = p / {12} #.

Wtedy obszar trójkąta jest

Powierzchnia # = (1/2) (2) (4) sin (pi / {12}) #.

Musimy obliczyć # sin (p / {12}) #. Można to zrobić za pomocą wzoru na sinus różnicy:

#sin (pi / 12) = sin (kolor (niebieski) (p / 4) -color (złoty) (p / 6)) #

# = sin (kolor (niebieski) (p / 4)) cos (kolor (złoty) (p / 6)) - cos (kolor (niebieski) (p / 4)) sin (kolor (złoty) (p / 6)) #

# = ({srt {2}} / 2) ({srt {3}} / 2) - ({srt {2}} / 2) (1/2) #

# = {srt {6} - sqrt {2}} / 4 #.

Następnie obszar otrzymuje:

Powierzchnia # = (1/2) (2) (4) ({srt {6} - srt {2}} / 4) #

# = sqrt {6} - sqrt {2} #.