Jedna dodatnia liczba całkowita to 3 mniej niż dwa razy więcej. Suma ich kwadratów wynosi 117. Jakie są liczby całkowite?

Odpowiedź:

#9# i #6#

Wyjaśnienie:

Kwadraty pierwszych kilku liczb całkowitych dodatnich to:

#1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100#

Tylko dwie sumy #117# są #36# i #81#.

Pasują do warunków od:

#color (niebieski) (6) * 2-3 = kolor (niebieski) (9) #

i:

#color (niebieski) (6) ^ 2 + kolor (niebieski) (9) ^ 2 = 36 + 81 = 117 #

Tak więc dwie liczby całkowite są #9# i #6#

Jak moglibyśmy znaleźć je bardziej formalnie?

Załóżmy, że liczby całkowite są # m # i # n #, z:

#m = 2n-3 #

Następnie:

# 117 = m ^ 2 + n ^ 2 = (2n-3) ^ 2 + n ^ 2 = 4n ^ 2-12n + 9 + n ^ 2 = 5n ^ 2-12n + 9 #

Więc:

# 0 = 5 (5n ^ 2-12n-108) #

#color (biały) (0) = 25n ^ 2-60n-540 #

#color (biały) (0) = (5n) ^ 2-2 (5n) (6) + 6 ^ 2-576 #

#color (biały) (0) = (5n-6) ^ 2-24 ^ 2 #

#color (biały) (0) = ((5n-6) -24) ((5n-6) +24) #

#color (biały) (0) = (5n-30) (5n + 18) #

#color (biały) (0) = 5 (n-6) (5n + 18) #

Stąd:

#n = 6 "" # lub # "" n = -18 / 5 #

Interesują nas tylko pozytywne rozwiązania całkowite, więc:

#n = 6 #

Następnie:

#m = 2n-3 = 2 (kolor (niebieski) (6)) - 3 = 9 #