Jaka jest długość drabiny, jeśli drabina o długości L jest ułożona poziomo za rogiem od hali o szerokości 3 stóp do hali o szerokości 4 stóp?

Rozważmy przebiegający segment linii # (x, 0) # do # (0, y) # przez wewnętrzny kąt w #(4,3)#.

Minimalna długość tego segmentu linii będzie maksymalną długością drabiny, którą można manewrować wokół tego rogu.

Przypuszczam, że # x # jest poza #(4,0)# przez jakiś współczynnik skalowania, # s #, z 4, więc

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

uważaj na # (1 + s) # pojawienie się później jako wartość, którą należy coś od siebie uwzględnić.

Przez podobne trójkąty widzimy to

#y = 3 (1 + 1 / s) #

Twierdzeniem Pitagorasa możemy wyrazić kwadrat długości odcinka linii jako funkcję # s #

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2 s + s ^ 2) #

Normalnie weźmiemy pochodną L (s), aby znaleźć minimum, ale w tym przypadku łatwiej jest przyjąć pochodną # L ^ 2 (s) #.

(Zauważ, że jeśli #L (s) # jest minimum jak # s = s_0 #, następnie # L ^ 2 (s) # będzie również minimum na # s = s_0 #.)

Biorąc pierwszą pochodną # L ^ 2 (s) # i ustawiając go na zero, otrzymujemy:

# 3 ^ 2 (-2 s ^ (- 3) - 2 s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2 s) = 0 #

Pomnożenie przez # s ^ 3 # a następnie faktoring # 2 (1 + s) #

pozwala nam rozwiązać # s #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

Ponowne podłączenie tej wartości do równania dla # L ^ 2 (s) # i biorąc pierwiastek kwadratowy (użyłem arkusza kalkulacyjnego), otrzymamy

maksymalna długość drabiny # = 9,87 stopy # (około.)