U_1, u_2, u_3, ... są w progresji geometrycznej (GP). Wspólnym stosunkiem terminów w serii jest K. Teraz określ sumę serii u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) w postaci K i u_1?

Odpowiedź:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2 K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Wyjaśnienie:

Ogólny termin postępu geometrycznego można zapisać:

#a_k = a r ^ (k-1) #

gdzie #za# jest początkowym terminem i # r # wspólny stosunek.

Suma do # n # terminy podane są za pomocą wzoru:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#kolor biały)()#

Z informacjami podanymi w pytaniu, ogólna formuła dla # u_k # można napisać:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Zauważ, że:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Więc:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (biały) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (biały) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # gdzie # a = u_1 ^ 2K # i #r = K ^ 2 #

#color (biały) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (biały) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #