Pytanie # dbd28

Odpowiedź:

Zdefiniuj odległość między wykresem a punktem jako funkcję i znajdź minimum.

Chodzi o to #(3.5,1.871)#

Wyjaśnienie:

Aby wiedzieć, jak blisko są, musisz znać odległość. Odległość euklidesowa wynosi:

#sqrt (Δx ^ 2 + Δy ^ 2) #

gdzie Δx i Δy to różnice między 2 punktami. Aby być najbliższym punktem, punkt ten musi mieć minimalną odległość. Dlatego ustawiliśmy:

#f (x) = sqrt ((x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2)) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) #

Teraz musimy znaleźć minimum tej funkcji:

#f '(x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) * (x ^ 2-7x + 16)' #

#f '(x) = (2x-7) / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) #

Mianownik jest zawsze dodatni jako funkcja pierwiastka kwadratowego. Licznik jest pozytywny, gdy:

# 2x-7> 0 #

#x> 7/2 #

#x> 3,5 #

Więc funkcja jest pozytywna, kiedy #x> 3,5 #. Podobnie można udowodnić, że jest ujemny, gdy #x <3,5 # Dlatego istnieje funkcja #f (x) # ma minimum na # x = 3,5 #, co oznacza, że odległość jest najmniejsza # x = 3,5 # Współrzędna y # y = x ^ (1/2) # jest:

# y = 3,5 ^ (1/2) = sqrt (3,5) = 1,871 #

Wreszcie punkt, w którym obserwuje się najmniejszą odległość od (4,0):

#(3.5,1.871)#