Jakie jest równanie paraboli, która ma wierzchołek na (7, 9) i przechodzi przez punkt (0, 2)?

Odpowiedź:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #

Wyjaśnienie:

Ten problem wymaga zrozumienia, w jaki sposób można przesuwać i rozciągać funkcje, aby spełnić określone parametry. W tym przypadku naszą podstawową funkcją jest #y = x ^ 2 #. To opisuje parabolę, która ma swój wierzchołek #(0,0)#. Możemy jednak rozszerzyć go jako:

#y = a (x + b) ^ 2 + c #

W najbardziej podstawowej sytuacji:

#a = 1 #

#b = c = 0 #

Ale zmieniając te stałe, możemy kontrolować kształt i pozycję naszej paraboli. Zaczniemy od wierzchołka. Ponieważ wiemy, że musi być #(7,9)# musimy przesunąć domyślną parabolę w prawo o #7# i dalej przez #9#. Oznacza to manipulowanie #b# i #do# parametry:

Oczywiście #c = 9 # ponieważ to będzie oznaczało wszystko # y # wartości wzrosną o #9#. Ale mniej oczywiste, #b = -7 #. Dzieje się tak dlatego, gdy dodajemy czynnik do # x # termin, zmiana będzie odwrotna do tego czynnika. Widzimy to tutaj:

#x + b = 0 #

#x = -b #

Kiedy dodamy #b# do # x #, przenosimy wierzchołek do #-b# w # x # kierunek.

Nasza dotychczasowa parabola to:

#y = a (x - 7) ^ 2 + 9 #

Ale musimy rozciągnąć go, aby przejść przez punkt #(0,2)#. Jest to tak proste, jak podłączenie tych wartości:

# 2 = a (-7) ^ 2 + 9 #

# 2 = 49a + 9 #

# -7 = 49a #

#a = -1 / 7 #

Oznacza to, że nasza parabola będzie miała to równanie:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #