Jeśli kamień spadnie na wysokość 174,9 m od helikoptera, który wznosi się z prędkością 20,68 m / s, jak długo kamień zabiera się do ziemi?

Odpowiedź:

8,45 sekundy.

Wyjaśnienie:

Kierunek „g”, gdy mówimy o przyspieszeniu, zależy od zdefiniowanego przez nas układu współrzędnych. Na przykład, jeśli miałbyś zdefiniować w dół jako dodatnie „y”, wtedy g byłoby dodatnie. Konwencja ma wznieść się w górę, jako dodatnia, więc g będzie ujemne. To jest to, z czego będziemy korzystać #y = 0 #

#color (czerwony) („EDIT:”) # Dodałem podejście wykorzystując równania kinematyczne, których uczysz się wcześnie na dole. Wszystko, co tutaj zrobiłem, to wyprowadzenie ich za pomocą rachunku różniczkowego, ale doceniam to, że mógłbyś tego nie pokryć.Przewiń w dół do czerwonego tytułu w podejściu non-rachunek.

Możemy przyjrzeć się temu znacznie bliżej, zaczynając od zera za pomocą drugiego prawa Newtona. Gdy kamień zostanie upuszczony, ma początkową prędkość, ale jedyna działająca na niego siła jest spowodowana grawitacją. Zdefiniowaliśmy w górę jako pozytywny kierunek y, więc według drugiego prawa Newtona możemy napisać

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Dzieje się tak, ponieważ kamień przyspieszy w kierunku ziemi, którą zdefiniowaliśmy jako kierunek ujemny.

Integracja tego wyrażenia daje:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # jest prędkością kamienia, więc gdy zastosujemy prędkość początkową przy #y '(0) = + 20,68 # docieramy do

# 20.68 = g * 0 + C #

#implies C = 20,68 #

# (dy) / (dt) = 20,68 - g t #

Modeluje prędkość i ma sens, jeśli się nad tym zastanowić. Gdy zostanie zwolniony, będzie miał taką samą prędkość jak helikopter i będzie przez pewien czas poruszał się w górę, ale w miarę upływu czasu zatrzyma się, a następnie zacznie spadać.

Aby znaleźć przemieszczenie, ponownie się integrujemy:

#y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Zastosuj warunek początkowy #y (0) = 174,9 #

# 174,9 = 20,68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implikuje C = 174,9 #

#therefore y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174,9 #

Aby rozwiązać problem, aby dotrzeć do ziemi, ustaw # y = 0 # i rozwiąż kwadrat:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20,68t - 174,9 = 0 #

To zdecydowanie zadanie dla wzoru kwadratowego:

#t = (20,68 + -sqrt (20,68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174,9)) / g #

Nabierający #g = 9.8ms ^ (- 2) #

#t = 8,45 lub -4,23 #

Odrzucamy negatywne rozwiązanie, dlatego kamień potrzebuje 8,45 sekundy, aby uderzyć w ziemię.

#color (czerwony) („Podejście bez rachunku”) #

Wiemy to #v = v_0 + o # gdzie # v # to prędkość końcowa, # v_0 # jest prędkość początkowa, #za# jest przyspieszenie i # t # to czas, o który się ubiega.

Jak powiedziałem wcześniej, z układem współrzędnych w górę #sol# będzie ujemny, ale kamień początkowo poruszy się w górę z powodu swojej początkowej prędkości. Chcemy znaleźć punkt, w którym przestaje się poruszać w górę:

Zestaw #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#therefore t = v_0 / g = 20.68 / 9.8 #

Teraz użyj

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # znowu z #a = -g #

więc #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20,68) ^ 2 / 9,8 - (20,68 ^ 2) / (2 * 9,8) #

#S = 21,8 m #

Oznacza to, że kamień zatrzymuje się na chwilę #y = 174,9 + 21,8 #

#y = 196,7 m #

Teraz nie mamy żadnych nieznośnych początkowych prędkości, z którymi można by się zmierzyć, wystarczy prosty spadek z tej wysokości:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Ponieważ wzrost jest dodatni, spadek spowoduje ujemne przemieszczenie

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196,7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196.7) /9.8) #

#t = 8,45 # jako wymagane.

Odpowiedź:

8,45s

Wyjaśnienie:

Helikopter porusza się z prędkością # u = 20,68 m / s # Kamień upuszczony z niego będzie miał taką samą prędkość początkową, jak prędkość wstępująca helikoptera, ale siła grawitacji w dół zapewni mu przyspieszenie w dół (g).

Biorąc pod uwagę punkt upuszczenia kamienia z helikoptera jako początku, postępujemy w następujący sposób

Jeśli w górę prędkość początkowa pozytywny następnie przyspieszenie w dół (g) należy traktować jako negatywny i przesunięcie w dół (h) należy również rozważyć negatywny.

#color (czerwony) („Tutaj w górę + ve i w dół -ve”) #

Teraz obliczenie czasu (t) dotarcia do ziemi

Więc mamy

# u = + 20,68 m / s #

# g = -9,8 m / s ^ 2 #

# h = -174,9 m #

#t =? #

Wstawianie ich w równaniu ruchu pod wpływem grawitacji (zawierający zmienne h, u, g, t) dostajemy

# h = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174,9 = 20,68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4,9t ^ 2-20.68t-174,9 = 0 #

# => t = (20,68 + sqrt ((- 20,68) ^ 2-4 * 4,9 * (- 174,9))) / (2 * 4,9) #

#:. t = 8,45s #

To samo równanie (1) zostanie uzyskane, jeśli odwrócimy kierunek#color (czerwony) („i.e.upward - ive i down + ive.”) #