X (P (x) Q (x)) xP (x) QxQ (x) x (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x ). Pomóż mi z pierwszym oświadczeniem?

Aby zrozumieć te stwierdzenia, najpierw musimy zrozumieć używany zapis.

• # AA # - dla wszystkich - Ten symbol oznacza, że coś jest prawdziwe dla każdego przykładu w zestawie. Kiedy dodamy zmienną # x #, # AAx # oznacza, że niektóre stwierdzenia odnoszą się do każdej możliwej wartości lub przedmiotu, w którym moglibyśmy zastąpić # x #.

• #P (x), Q (x) # - propozycja - Są to logiczne propozycje dotyczące # x #to znaczy reprezentują oświadczenia o # x # które są prawdziwe lub fałszywe dla każdego konkretnego # x #.

• # # - i - Ten symbol pozwala na połączenie wielu propozycji. Połączony wynik jest prawdziwy, gdy oba zdania zwracają wartość true, a false w przeciwnym razie.

• # # - lub - Ten symbol pozwala również na kombinację wielu propozycji. Połączony wynik jest fałszywy, gdy oba zdania zwracają wartość fałsz, a prawdą jest inaczej.

• # # - wtedy i tylko wtedy gdy - Ten symbol pozwala również na kombinację wielu propozycji. Połączony wynik jest prawdziwy, gdy oba zdania zwracają tę samą wartość prawdy dla wszystkich # x #i w przeciwnym wypadku false.

Dzięki temu możemy teraz przetłumaczyć instrukcje. Pierwsze zdanie, bezpośrednio sformułowane, brzmiałoby jak „Dla wszystkich x, P x i Q x, jeśli tylko dla wszystkich x, P x, i dla wszystkich x, Q dla x.”

Niektóre drobne dodatki i modyfikacje sprawiają, że jest to nieco bardziej zrozumiałe.

„Dla wszystkich x, P i Q są prawdziwe dla x wtedy i tylko wtedy, gdy P jest prawdziwe dla wszystkich x, a Q jest prawdziwe dla wszystkich x.”

To stwierdzenie jest tautologią, to jest prawdą, niezależnie od tego, co zastąpimy w P lub Q. Możemy to wykazać, wykazując, że twierdzenie poprzedzające implikuje następną i vice versa.

Począwszy od wcześniejszego oświadczenia, mamy to dla każdego # x #, #P (x) Q (x) # jest prawdziwy. Zgodnie z powyższą definicją oznacza to, że dla każdego # x #, #P (x) # jest prawdą i #Q (x) # jest prawdziwy. Oznacza to, że dla każdego # x #, #P (x) # jest prawdziwe i dla każdego # x #, #Q (x) # jest prawdą, czyli stwierdzeniem pojawiającym się po.

Jeśli zaczniemy od wyrażenia występującego po, to wiemy, że dla każdego # x #, #P (x) # jest prawdziwe i dla każdego # x #, #Q (x) # jest prawdziwy. Potem dla wszystkich # x #, #P (x) # i #Q (x) # oba są prawdziwe, co oznacza dla wszystkich # x #, #P (x) Q (x) # jest prawdziwy. Dowodzi to, że pierwsze stwierdzenie jest zawsze prawdziwe.

Drugie stwierdzenie jest fałszywe. Bez przechodzenia przez pełny proces, jak powyżej, możemy po prostu pokazać, że dwa zdania po obu stronach nie zawsze mają tę samą wartość prawdy. Załóżmy na przykład, że za połowę wszystkich możliwych # x #, #P (x) # jest prawdą i #Q (x) # jest fałszywy, a dla drugiej połowy #Q (x) # jest prawdą i #P (x) # to fałsz.

W tym przypadku, jak dla wszystkich # x #, zarówno #P (x) # lub #Q (x) # to prawda, propozycja #AAx (P (x) Q (x)) # jest prawdą (patrz opis powyżej). Ale ponieważ są wartości # x # dla którego #P (x) # jest fałszywe, propozycja #AAxP (x) # to fałsz. Podobnie, #AAxQ (x) # jest także fałszywy, co oznacza #AAxP (x) AAxQ (x) # to fałsz.

Ponieważ te dwa zdania mają różne wartości prawdy, oczywiste jest, że prawda jednego nie gwarantuje prawdy drugiej, a więc połączenie ich z daje nowe twierdzenie, które jest fałszywe.