Czym jest cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]?

Odpowiedź:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Wyjaśnienie:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) #

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

Teraz, używając #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) y = xy + sqrt ((1-x ^ 2) * (1-y ^ 2)) #, dostajemy,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = cos (cos ^ (- 1) (5/13 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Odpowiedź:

Według wzoru sumy kątowej

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

# = pm {5 srt {3}} / 6 pm 6/13 #

Wyjaśnienie:

#x = cos (arcsin (1/2) + arccos (5/13)) #

Te pytania są dość mylące z funky notacją funkcji odwrotnej. Prawdziwym problemem w tego typu pytaniach jest zazwyczaj traktowanie funkcji odwrotnych jako wielowartościowe, co może oznaczać, że wyrażenie ma również wiele wartości.

Możemy również spojrzeć na wartość # x # dla głównej wartości funkcji odwrotnych, ale zostawię to innym.

W każdym razie jest to cosinus sumy dwóch kątów, a to oznacza, że stosujemy wzór sumy kątów:

#cos (a + b) = cos a cos b - grzech a grzech b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

Cosinus odwrotnego cosinusu i sinus odwrotny sinus są łatwe. Cosinus odwrotnego sinusu i sinus odwrotnego cosinusa jest również prosty, ale pojawia się problem wielowartościowy.

Zasadniczo będą dwa kąty niebędące cerminalnymi, które dzielą dany cosinus, negacje siebie, których sinusy będą wzajemnymi negacjami. Zasadniczo będą dwa kąty nie-końcowe, które dzielą dany sinus, dodatkowe kąty, które będą miały cosinusy, które są wzajemnymi negacjami. Więc w obie strony mamy się #po południu#. Nasze równanie będzie miało dwa #po południu# i ważne jest, aby pamiętać, że są niezależne, niepowiązane.

Weźmy #arcsin (-1/2) # pierwszy. To oczywiście jeden z klisz trigów, # -30 ^ circ # lub # -150 ^ circ #. Będą cosinusy # + sqrt {3} / 2 # i # - sqrt {3} / 2 # odpowiednio.

Naprawdę nie musimy brać pod uwagę kąta. Możemy myśleć o trójkącie prawym z przeciwną 1 i przeciwprostokątną 2 i wymyślić sąsiednie # {3} # i cosinus # srt {3} / 2 #. Albo jeśli to zbyt wiele, ponieważ # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # następnie #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # co mechanicznie pozwala nam powiedzieć:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

Podobnie, #5,12,13# jest tu potrójny pitagorejczyk

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = pm 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

#x = pm {5 srt {3}} / 6 pm 6/13 #