Jakie jest równanie paraboli z fokusem w (-15, -19) i linią y = -8?

Odpowiedź:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Wyjaśnienie:

Ponieważ directrix jest linią poziomą, wiemy, że parabola jest zorientowana pionowo (otwiera się w górę lub w dół). Ponieważ współrzędna y ogniska (-19) poniżej reżyserii (-8), wiemy, że parabola otwiera się w dół. Formą wierzchołka równania dla tego typu paraboli jest:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Gdzie h jest współrzędną x wierzchołka, k to y skoordynowane z wierzchołkiem, a odległość ogniskowa, f, jest połową podpisanej odległości od directrix do fokusa:

#f = (y _ („focus”) - y _ („directrix”)) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

Współrzędna y wierzchołka, k, jest f plus współrzędna y directrix:

# k = f + y _ („directrix”) #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

Współrzędna x wierzchołka, h, jest taka sama jak współrzędna x fokusa:

#h = -15 #

Zastępowanie tych wartości w równaniu 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Upraszczając trochę:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Odpowiedź:

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Wyjaśnienie:

Parabola jest miejscem punktu, które porusza się w taki sposób, że jego odległość od linii zwanej directix i punktu zwanego ogniskiem jest równa.

Wiemy, że odległość między dwoma punktami # (x_1, y_1) # i # x_2, y_2) # jest dany przez #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # i

odległość między punktem # (x_1, y_1) # i linia # ax + przez + c = 0 # jest # | ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Teraz odległość punktu # (x, y) # na paraboli od skupienia się na #(-15,-19)# jest #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

i jego odległość od directrix # y = -8 # lub # y + 8 = 0 # jest # | y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Stąd równanie paraboli byłoby

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # lub

# (x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # lub

# x ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # lub

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

wykres {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56,5, 23,5, -35,28, 4,72}