Jaka jest projekcja (-4i + 3k) na (-2i -j + 2k)?

Odpowiedź:

Projekcja wektorowa jest #<-28/9,-14/9,28/9>,# projekcja skalarna jest #14/3#.

Wyjaśnienie:

Dany # veca = <-4, 0, 3> # i # vecb = <-2, -1,2>, # możemy znaleźć #proj_ (vecb) veca #, the wektor projekcja # veca # na # vecb # używając następującej formuły:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Oznacza to, że iloczyn punktowy dwóch wektorów jest podzielony przez wielkość # vecb #, pomnożone przez # vecb # podzielona przez jego wielkość. Druga wielkość jest wielkością wektorową, ponieważ dzielimy wektor przez skalar. Zauważ, że dzielimy się # vecb # przez jego wielkość w celu uzyskania wektor jednostkowy (wektor o wielkości #1#). Można zauważyć, że pierwsza wielkość jest skalarna, ponieważ wiemy, że kiedy otrzymamy iloczyn punktowy dwóch wektorów, wypadkową jest skalar.

Dlatego też skalarny projekcja #za# na #b# jest #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, także napisane # | proj_ (vecb) veca | #.

Możemy zacząć od przyjęcia iloczynu punktowego dwóch wektorów.

# veca * vecb = <-4, 0, 3> * <-2, -1,2> #

#=> (-4*-2)+(0*-1)+(3*2)#

#=>8+0+6=14#

Wtedy możemy znaleźć wielkość # vecb # pobierając pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów każdego ze składników.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((- 2) ^ 2 + (- 1) ^ 2 + (2) ^ 2) #

# => sqrt (4 + 1 + 4) = sqrt (9) = 3 #

A teraz mamy wszystko, czego potrzebujemy, aby znaleźć projekcję wektorową # veca # na # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (14) / 3 * (<-2, -1,2>) / 3 #

#=>(14 < -2,-1,2 >)/9#

#=><-28/9,-14/9,28/9>#

Projekcja skalarna # veca # na # vecb # to tylko pierwsza połowa formuły, gdzie #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Dlatego projekcja skalarna jest #14/3#.

Mam nadzieję, że to pomoże!