Co to jest int (sin x) / (cos ^ 2x + 1) dx?

Odpowiedź:

#int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = -arctan (cos (x)) + C #

Wyjaśnienie:

Wprowadzimy substytucję u # u = cos (x) #. Pochodna # u # będzie wtedy # -sin (x) #, więc dzielimy się przez to w celu integracji w odniesieniu do # u #:

#int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = int anuluj (sin (x)) / (1 + u ^ 2) * 1 / (- anuluj (sin (x))) dx = -int 1 / (1 + u ^ 2) du #

Jest to znana całka arctan, co oznacza, że wynikiem jest:

# -int 1 / (1 + u ^ 2) du = -arctan (u) + C #

Możemy przywrócić # u = cos (x) # uzyskać odpowiedź w kategoriach # x #:

# -arctan (cos (x)) + C #