Jakie są maksymalne i minimalne wartości, które funkcja f (x) = x / (1 + x ^ 2)?

Odpowiedź:

Maksymalny: #1/2#

Minimum: #-1/2#

Wyjaśnienie:

Alternatywnym podejściem jest przekształcenie funkcji w równanie kwadratowe. Lubię to:

#f (x) = x / (1 + x ^ 2) rarrf (x) x ^ 2 + f (x) = xrarrf (x) x ^ 2-x + f (x) = 0 #

Pozwolić #f (x) = c "" # aby wyglądało to ładniej:-)

# => cx ^ 2-x + c = 0 #

Przypomnijmy, że dla wszystkich prawdziwych korzeni tego równania wyróżnik jest dodatni lub zerowy

Więc mamy, # (- 1) ^ 2-4 (c) (c)> = 0 "" => 4c ^ 2-1 <= 0 "" => (2c-1) (2c + 1) <= 0 #

Łatwo to rozpoznać # -1 / 2 <= c <= 1/2 #

Stąd, # -1 / 2 <= f (x) <= 1/2 #

To pokazuje, że maksimum jest #f (x) = 1/2 # a minimum to #f (x) = 1/2 #