Akord o długości 12 biegnie od pi / 12 do pi / 6 radianów w okręgu. Jaki jest obszar koła?

Odpowiedź:

Obszar okręgu to

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Wyjaśnienie:

Zdjęcie powyżej odzwierciedla warunki określone w problemie. Wszystkie kąty (powiększone dla lepszego zrozumienia) wyrażone są w radianach licząc od poziomej osi X. #WÓŁ# przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Musimy znaleźć promień okręgu, aby określić jego obszar.

Znamy ten akord # AB # ma długość #12# i kąt między promieniami # OA # i # OB # (gdzie # O # jest środkiem okręgu)

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Zbuduj wysokość #O# trójkąta #Delta AOB # z wierzchołka # O # na bok # AB #. Od #Delta AOB # jest równoramienny, #O# jest medianą i dwusieczną kąta:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Rozważmy trójkąt prostokątny # Delta AOH #.

Wiemy, że to katet # AH = 6 # i kąt # / _ AOH = pi / 24 #.

Dlatego przeciwprostokątna # OA #, który jest promieniem naszego okręgu # r #, równa

# r = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Znając promień, możemy znaleźć obszar:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Wyraźmy to bez funkcji trygonometrycznych.

Od

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

możemy wyrazić obszar w następujący sposób:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Inna tożsamość trygonometryczna:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

W związku z tym,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Teraz możemy reprezentować obszar koła jako

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Odpowiedź:

Inne podejście jest takie samo

Wyjaśnienie:

Pas AB o długości 12 na powyższym rysunku biegnie od# pi / 12 # do # pi / 6 # w okręgu o promieniu r i centrum O, jako początek.

# / _ AOX = pi / 12 # i # / _ BOX = pi / 6 #

Więc biegunowa współrzędna A # = (r, pi / 12) # i to B # = (r, pi / 6) #

Stosowanie wzoru odległości dla współrzędnych biegunowych

długość cięciwy AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = anuluj144 ^ 72 / (anuluj2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Więc obszar koła

# = pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #