Czym są czwartorzędy?

Odpowiedź:

Rodzaj liczby, dla której mnożenie nie jest ogólnie przemienne.

Wyjaśnienie:

Liczby rzeczywiste (# RR #) może być reprezentowana przez linię - przestrzeń jednowymiarową.

Liczby zespolone (# CC #) może być reprezentowana przez płaszczyznę - dwuwymiarową przestrzeń.

Czwartorzędy (H) może być reprezentowana przez czterowymiarową przestrzeń.

W zwykłych liczbach arytmetycznych spełniają następujące zasady:

Dodanie

Tożsamość: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

Odwrotność: #AA a EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

Łączność: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

Przemienność: #AA a, b: a + b = b + a #

Mnożenie

Tożsamość: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

Odwrotność niezerowa: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

Łączność: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

Przemienność: #color (czerwony) (AA a, b: a * b = b * a) #

Razem

Dystrybucja: # {(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)), ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)):} #

#kolor biały)()#

Reguły te działają dla zbioru liczb wymiernych # QQ #, zestaw liczb rzeczywistych # RR # i liczby zespolone # CC # i zdefiniuj, co nazywa się a pole - zestaw wyposażony w operacje dodawania i mnożenia spełniające te zasady.

Czwartorzędy (H) są tak zwane skośne pole lub asocjacyjna algebra podziałów - zestaw wyposażony w operacje dodawania i mnożenia spełniające wszystkie te warunki z wyjątkiem przemienności mnożenia.

Będąc także a #4# Są to największa asocjacyjna algebra podziałowa nad Reals, jedyną pozostałą dwójką # RR # i # CC #.

Oprócz osi Real, wywoływane są jednostki na pozostałych trzech osiach #ja#, #jot# i # k #. Wszystkie są pierwiastkami kwadratowymi #-1#.

Te trzy wyimaginowane jednostki spełniają następujące warunki:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Czwartorzędy mogą być reprezentowane przez # 2xx2 # macierze z wartościami złożonymi lub przez # 4xx4 # macierze z wartościami rzeczywistymi.

Mają zastosowania w mechanice i fizyce teoretycznej.

#kolor biały)()#

Notatka

Zauważ, że powiedziałem asocjacyjny algebra podziałów. Poza czwartorzędami są jeszcze dziwniejsi. Oktony, które znoszą wymóg asocjacji.