Funkcja 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 to maksima, minima lub punkt przegięcia?

Odpowiedź:

• Brak min lub maxes
• Punkt przegięcia w #x = -2 / 3 #.

wykres {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Wyjaśnienie:

Mins i Maxes

Dla danego # x #-wartość (nazwijmy to #do#) jako maksimum lub min dla danej funkcji, musi spełniać następujące warunki:

#f '(c) = 0 # lub niezdefiniowane.

Te wartości #do# są również nazywani twoimi punkt krytyczny.

Uwaga: nie wszystkie punkty krytyczne są maksymalne / min, ale wszystkie maksimum / min są punktami krytycznymi

Znajdźmy je dla twojej funkcji:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

To nie ma znaczenia, spróbujmy więc wzoru kwadratowego:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… i możemy się tam zatrzymać. Jak widać, kończymy na liczbie ujemnej pod pierwiastkiem kwadratowym. Stąd są brak prawdziwych punktów krytycznych dla tej funkcji.

-

Punkty przegięcia

Teraz znajdźmy punkty przegięcia. Są to punkty, w których wykres ma zmianę wklęsłości (lub krzywizny). Na punkt (nazwij to #do#) aby być punktem przegięcia, musi spełniać następujące warunki:

#f '' (c) = 0 #.

Uwaga: Nie wszystkie takie punkty są punktami przegięcia, ale wszystkie punkty przegięcia muszą to spełniać.

Znajdźmy więc:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Teraz musimy sprawdzić, czy w rzeczywistości jest to punkt przegięcia. Więc musimy to zweryfikować #f '' (x) # w rzeczywistości zmienia znak na #x = -2 / 3 #.

Przetestujmy więc wartości po prawej i lewej stronie #x = -2 / 3 #:

Dobrze:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

Lewo:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

Nie dbamy o to, jakie są rzeczywiste wartości, ale jak wyraźnie widać, po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia #x = -2 / 3 #i liczba ujemna na lewo od #x = -2 / 3 #. Stąd jest to rzeczywiście punkt przegięcia.

Podsumowując, #f (x) # nie ma punktów krytycznych (lub min lub maxes), ale ma punkt przegięcia w #x = -2 / 3 #.

Spójrzmy na wykres #f (x) # i zobacz, co oznaczają te wyniki:

wykres {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Ten wykres rośnie wszędzie, więc nie ma żadnego miejsca, w którym pochodna = 0. Jednak przechodzi z zakrzywionego w dół (wklęsły w dół) do zakrzywionego w górę (wklęsły) w #x = -2 / 3 #.

Mam nadzieję, że to pomogło:)