Jak znaleźć int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx używając częściowych frakcji?

Odpowiedź:

#ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

Wyjaśnienie:

Pozwolić # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) # be = # (A / (1 + x) + B / (1 - 2x)) #

Rozwijamy prawą stronę, dostajemy

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) #

Utożsamiając, mamy

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) # = # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) #

to znaczy #A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 #

lub #A - 2Ax + B + Bx = 3 #

lub # (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 #

otrzymujemy równanie współczynnika x do 0 i zrównanie stałych

#A + B = 3 # i

# -2A + B = 0 #

Rozwiązujemy dla A i B, dostajemy

#A = 1 i B = 2 #

Zastępując integrację, otrzymujemy

#int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx # = #int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx #

= #int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x)) dx #

= #ln (1 + x) + 2 * ln (1 - 2x) * (-1 / 2) #

= #ln (1 + x) - ln (1 - 2x) #

= #ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #