Odpowiedź:
# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = 0.2746530521 #
Wyjaśnienie:
Moim rozwiązaniem jest zasada Simpsona, formuła aproksymacji
# int_a ^ b y * dx ~ = #
# h / 3 (y_0 + 4 * y_1 + 2 * y_2 + 4 * y_3 + 2 * y_4 + ….. + 4 * y_ (n-1) + y_n) #
Gdzie # h = (b-a) / n # i #b# górny limit i #za# dolny limit
i # n # dowolna liczba parzysta (im większa, tym lepiej)
wybieram
# n = 20 #
dany # b = pi / 4 # i # a = 0 #
# h = (pi / 4-0) / 20 = pi / 80 #
Oto jak obliczyć. Każdy # y = (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) # użyje innej wartości
dla # y_0 #
# x_0 = (a + 0 * h) = (0 + 0 * pi / 80) = 0 #
# y_0 = (sin x_0 + cos x_0) / (3 + sin 2x_0) #
# y_0 = (sin (0) + cos (0)) / (3 + sin 2 (0)) #
#color (czerwony) (y_0 = 0.3333333333333) #
dla # 4 * y_1 #
# x_1 = (a + 1 * h) = (0 + 1 * pi / 80) = pi / 80 #
# 4 * y_1 = 4 * (sin x_1 + cos x_1) / (3 + sin 2x_1) #
# 4 * y_1 = 4 * (sin (pi / 80) + cos (pi / 80)) / (3 + sin (2 (pi / 80))) #
#color (czerwony) (4 * y_1 = 1.3493618978936) #
dla # 2 * y_2 #
# x_2 = (a + 2 * h) = (0 + 2 * pi / 80) = 2 * pi / 80 #
# 2 * y_2 = 2 * (sin x_2 + cos x_2) / (3 + sin 2x_2) #
# 2 * y_2 = 2 * (sin ((2pi) / 80) + cos ((2pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((2pi) / 80)) #
#color (czerwony) (2 * y_2 = 0.68138682514816) #
dla # 4 * y_3 #
# x_3 = (a + 3 * h) = (0 + 3 * pi / 80) = 3 * pi / 80 #
# 4 * y_3 = 4 * (sin x_3 + cos x_3) / (3 + sin 2x_3) #
# 4 * y_3 = 4 * (sin ((3pi) / 80) + cos ((3pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((3pi) / 80)) #
#color (czerwony) (4 * y_3 = 1.3738977832468) #
dla # 2 * y_4 #
# x_4 = (a + 4 * h) = (0 + 4 * pi / 80) = 4 * pi / 80 #
# 2 * y_4 = 4 * (sin x_4 + cos x_4) / (3 + sin 2x_4) #
# 2 * y_4 = 4 * (sin ((4pi) / 80) + cos ((4pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((4pi) / 80)) #
#color (czerwony) (2 * y_4 = 0.69151824096418) #
reszta jest następująca
#color (czerwony) (4 * y_5 = 1.3904648494964) #
#color (czerwony) (2 * y_6 = 0.69821575035862) #
#color (czerwony) (4 * y_7 = 1.4011596185484) #
#color (czerwony) (2 * y_8 = 0.70242415421322) #
#color (czerwony) (4 * y_9 = 1.4076741205702) #
#color (czerwony) (2 * y_10 = 0.70489632049832) #
#color (czerwony) (4 * y_11 = 1.4113400771087) #
#color (czerwony) (2 * y_12 = 0.7062173920012) #
#color (czerwony) (4 * y_13 = 1.4131786935757) #
#color (czerwony) (2 * y_14 = 0.7068293103707) #
#color (czerwony) (4 * y_15 = 1.4139474301694) #
#color (czerwony) (2 * y_16 = 0.70705252678954) #
#color (czerwony) (4 * y_17 = 1.414179352209) #
#color (czerwony) (2 * y_18 = 0.70710341105534) #
#color (czerwony) (4 * y_19 = 1.4142131417552) #
#color (czerwony) (y_20 = 0,35355339059328) #
Suma tych wszystkich #color (czerwony) („suma” = 20,98194762) #
# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = (h / 3) * „suma” #
# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = ((pi / 80) / 3) * 20.98194762 #
# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = kolor (czerwony) (0.2746530521) #
Alternatywą jest użycie kalkulatora graficznego podczas skomplikowanej integracji z bardziej dokładną wartością
#color (czerwony) (= 0.2746530722) #
Niech Bóg błogosławi … Mam nadzieję, że wyjaśnienie jest przydatne.
Odpowiedź:
# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = ln (3) / 4 #
Wyjaśnienie:
Będziemy postępować za pomocą podstawienia. Po pierwsze, przejdziemy przez pewną algebrę, aby zintegrować się w bardziej pożądaną formę.
# 3 + sin (2x) = 3 + 2sin (x) cos (x) #
# = 4 + 2sin (x) cos (x) - 1 #
# = 4 + 2sin (x) cos (x) - sin ^ 2 (x) -cos ^ 2 (x) #
# = 4 - (sin (x) -cos (x)) ^ 2 #
# = (2 + sin (x) - cos (x)) (2 - sin (x) + cos (x)) #
# => (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) = (sin (x) + cos (x)) / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) #
# = (4 (sin (x) + cos (x))) / (4 (2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x)) #
# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #
# xx4 / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) #
# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #
#xx (1 / (2 + sin (x) -cos (x)) + 1 / (2-sin (x) + cos (x))) #
# = 1 / 4xx (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) - 1 / 4xx (-sin (x) -cos (x)) / (2- sin (x) + cos (x)) #
Używając tego, możemy podzielić całkę:
# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = #
# = 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx #
# - 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx #
Dla pierwszej całki, używając podstawienia #u = 2 + sin (x) - cos (x) # daje nam #du = (sin (x) + cos (x)) dx # i granice integracji zmieniają się od #0# i # pi / 4 # do #1# i #2#. Tak więc dostajemy
# 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx = int_1 ^ 2 1 / udu #
# = 1/4 (ln | u |) _1 ^ 2 #
# = 1/4 (ln (2) -ln (1)) #
# = 1 / 4ln (2) #
Dla drugiej całki, używając podstawienia #u = 2 - sin (x) + cos (x) # daje nam #du = (-sin (x) -cos (x)) dx # i granice integracji zmieniają się od #0# i # pi / 4 # do #3# i #2#. Tak więc dostajemy
# -1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx = -1 / 4int_3 ^ 2 1 / udu #
# = 1 / 4int_2 ^ 3 1 / udu #
# = 1/4 (ln (3) -ln (2)) #
# = 1/4 (ln (3/2)) #
Zastąpienie całek wartościami daje nam pożądany rezultat:
# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = 1 / 4ln (2) + 1 / 4ln (3/2) #
# = 1/4 (ln (2) + ln (3/2)) #
# = 1 / 4ln (2 * 3/2) #
# = ln (3) / 4 #
