Czy pomógłbyś mi? int_0 ^ (pi / 2) (e ^ (2x) * sinx) dx

Odpowiedź:

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Wyjaśnienie:

wymaga to integracji według części w następujący sposób. Limity zostaną pominięte do samego końca

#int (e ^ (2x) sinx) dx #

#color (czerwony) (I = intu (dv) / (dx) dx) = uv-intv (du) / (dv) dx #

# u = e ^ (2x) => du = 2e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = sinx => v = -cosx #

#color (czerwony) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

druga całka jest również wykonywana przez części

# u = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = cosx => v = sinx #

#color (czerwony) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx #

#color (czerwony) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-4color (czerwony) (I) #

#: 5I = e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

teraz ustaw granice

#I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

# = (e ^ pi ((2sin (pi / 2) -cos (pi / 2))) / 5) - (e ^ (0) (sin0-cos0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Odpowiedź:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

Wyjaśnienie:

Chociaż już udzielona odpowiedź jest idealna, chciałem po prostu wskazać łatwiejszy sposób na uzyskanie tej samej odpowiedzi przy użyciu nieco bardziej zaawansowanego podejścia - za pomocą liczb zespolonych.

Zaczynamy od słynnej relacji

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

gdzie # i = sqrt {-1} #i zauważ, że to oznacza

#sin (x) = Im (e ^ {ix}) oznacza e ^ {2x} sin (x) = Im (e ^ {(2 + i} x)) #

gdzie # Im # oznacza część urojoną.

Więc

# int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} sin (x) dx = Im (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx) #

# = Im (e ^ {(2 + i) x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}) = Im ({e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+ ja})#

# = Im ({ie ^ pi -1} / {2 + i} razy {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- 1 + ie ^ pi) (2-i)) #

# = 1/5 ((- 1) razy (-1) + e ^ pi razy 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #