Jakie są lokalne ekstrema f (x) = (x ^ 5-x ^ 2-4) / (x ^ 3-3x + 4)?

Odpowiedź:

Lokalne maksimum #~~ -0.794# (w # x ~~ -0.563 #) i lokalne minima są #~~ 18.185# (w # x ~~ -3.107 #) i #~~ -2.081# (w # x ~~ 0.887 #)

Wyjaśnienie:

#f '(x) = (2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2-8x-12) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 2 #

Liczby krytyczne to rozwiązania

# 2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2-8x-12 = 0 #.

Nie mam dokładnych rozwiązań, ale za pomocą metod numerycznych znajdziemy rzeczywiste rozwiązania w przybliżeniu:

#-3.107#, #- 0.563# i #0.887#

#f '' (x) = (2x ^ 9-18x ^ 7 + 14x ^ 6 + 108x ^ 5-426x ^ 4 + 376x ^ 3 + 72x ^ 2 + 96x-104) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 3 #

Zastosuj drugi test pochodny:

#f '' (- 3.107)> 0 #, więc #f (-3.107) ~~ 18.185 # to lokalne minimum

#f '' (- 0,563) <0 #, więc #f (- 0.563) ~~ -0.794 # to maksimum lokalne

#f '' (0.887)> 0 #, więc #f (0.887) ~~ -2.081 # to lokalne minimum

Jakie są ekstrema globalne i lokalne f (x) = 2x ^ 7-2x ^ 5?

Przepisujemy f jako f (x) = 2x ^ 7 * (1-1 / x ^ 2), ale lim_ (x-> oo) f (x) = oo stąd nie ma ekstrema globalnego. Dla ekstrema lokalnego znajdujemy punkty gdzie (df) / dx = 0 f '(x) = 0 => 14x ^ 6-10x ^ 4 = 0 => 2 * x ^ 4 * (7 * x ^ 2-5 ) = 0 => x_1 = sqrt (5/7) i x_2 = -sqrt (5/7) Stąd mamy to lokalne maksimum przy x = -sqrt (5/7) to f (-sqrt (5/7)) = 100/343 * sqrt (5/7) i lokalne minimum przy x = sqrt (5/7) to f (sqrt (5/7)) = - 100/343 * sqrt (5/7)

Jakie są ekstrema globalne i lokalne f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

F (x) ma absolutne minimum przy (-1. 0) f (x) ma lokalne maksimum przy (-3, 4e ^ -3) f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) [Reguła produktu] = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) Dla ekstrema bezwzględnego lub lokalnego: f '(x) = 0 To jest gdzie: e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 Ponieważ e ^ x> 0 forsuje x w RR x ^ 2 + 4x + 3 = 0 (x + 3) ( x-1) = 0 -> x = -3 lub -1 f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) [Reguła produktu] = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) Ponownie, ponieważ e ^ x> 0, musimy tylko przetestować znak (x ^ 2 + 6x + 7) w naszych punktach ekstrema, aby określić,

Jakie są ekstrema globalne i lokalne f (x) = x ^ 2 (2 - x)?

(0,0) to lokalne minimum i (4 / 3,32 / 27) to lokalne maksimum. Nie ma globalnego ekstremum. Najpierw należy pomnożyć nawiasy, aby ułatwić różnicowanie i uzyskać funkcję w postaci y = f (x) = 2x ^ 2-x ^ 3. Teraz lokalne lub względne ekstrema lub punkty zwrotne występują, gdy pochodna f '(x) = 0, to znaczy, gdy 4x-3x ^ 2 = 0, => x (4-3x) = 0 => x = 0 lub x = 4/3. dlatego f (0) = 0 (2-0) = 0 if (4/3) = 16/9 (2-4 / 3) = 32/27. Ponieważ druga pochodna f '' (x) = 4-6x ma wartości f '' (0) = 4> 0 i f '' (4/3) = - 4 <0, oznacza to, że (0,0 ) jest lokalnym minimum i (4 / 3,32 / 27) jest