Jakie są ekstrema globalne i lokalne f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Odpowiedź:

#f (x) # ma absolutne minimum #(-1. 0)#

#f (x) # ma lokalne maksimum przy # (- 3, 4e ^ -3) #

Wyjaśnienie:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Reguła produktu

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Dla ekstremów bezwzględnych lub lokalnych: #f '(x) = 0 #

To jest gdzie: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

Od # e ^ x> 0 forall x in RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 lub -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Reguła produktu

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Ponownie od tego czasu # e ^ x> 0 # musimy tylko sprawdzić znak # (x ^ 2 + 6x + 7) #

w naszych punktach ekstremalnych, aby określić, czy punkt jest maksymalny czy minimalny.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # to minimum

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # jest maksimum

Rozważając wykres #f (x) # poniżej jest jasne, że #f (-3) # jest lokalnym maksimum i #f (-1) # jest absolutnym minimum.

wykres {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788, 2.005, -0.658, 3.24}

Wreszcie, oceniając punkty ekstrema:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

i

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0,199 #