Suma kwadratu dwóch kolejnych liczb wynosi 390. Jak sformułować równanie kwadratowe, aby znaleźć dwie liczby?

Odpowiedź:

Kwadrat byłby taki # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

To nie ma rozwiązań całkowitych.

Ani suma kwadratów dowolnych dwóch liczb całkowitych równych #390#.

Suma kwadratów dwóch liczb całkowitych Gaussa może wynosić 390.

Wyjaśnienie:

Jeśli mniejsza z tych dwóch liczb jest # n #, wtedy jest większa # n + 1 # a suma ich kwadratów to:

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 + 2n + 1 #

Zatem równanie kwadratowe, które chcielibyśmy rozwiązać, to:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

lub jeśli wolisz:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

Zauważ jednak, że dla dowolnej liczby całkowitej # n # Suma # 2n ^ 2 + 2n + 1 # będzie dziwne, więc nie jest to możliwe #390# być sumą kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych.

Czy można go wyrazić jako sumę kwadratów dowolnych dwóch liczb całkowitych?

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# nie kwadrat

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# nie kwadrat

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# nie kwadrat

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# nie kwadrat

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# nie kwadrat

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# nie kwadrat

Nie - jeśli pójdziemy dalej, duża pozostałość po odjęciu kwadratu nie będzie jedną z tych, które już sprawdziliśmy.

#kolor biały)()#

Złożony przypis

Czy istnieje para liczb całkowitych Gaussa, których suma kwadratów wynosi #390#?

Tak.

Załóżmy, że możemy znaleźć liczbę całkowitą Gaussa # m + ni #, prawdziwa część, której kwadrat jest #195#. Wtedy suma kwadratu tej liczby całkowitej Gaussa i kwadratu jego złożonego koniugatu będzie rozwiązaniem.

Znaleźliśmy:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2-n ^ 2) + 2 mni #

Więc chcemy znaleźć liczby całkowite #m, n # takie # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

Dobrze:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

Stąd znajdziemy:

# (14 + i) ^ 2 + (14-i) ^ 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 = 390 #

Inne rozwiązanie, wynikające z faktu, że każda liczba nieparzysta jest różnicą kwadratów dwóch kolejnych liczb, to:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #