Jakie są wartości m, dla których równanie x (x-1) (x-2) (x-3) = m ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste?

Odpowiedź:

#m le (5/4) ^ 2-1 #

Wyjaśnienie:

Mamy to #x (x - 1) (x - 2) (x - 3) - m = x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m #

Teraz robię

# x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-a) ^ 4 + b (x-a) ^ 2 + c # i zrównując otrzymane współczynniki

# {(a ^ 4 + a ^ 2 b + c + m = 0), (4 a ^ 3 + 2 a b-6 = 0), (11 - 6 a ^ 2 - b = 0), (4 a -6 = 0):} #

Rozwiązanie dla #ABC# dostajemy

# a = 3/2, b = -5 / 2, c = 1/16 (9-16 m) # lub

# x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-3/2) ^ 4-5 / 2 (x-3/2) ^ 2 + 1/16 (9-16 m) = 0 #

Rozwiązywanie tego równania dla # x # dostajemy

#x = 1/2 (3 pm sqrt (5 pm 4sqrt (m + 1))) #

Te korzenie są prawdziwe, jeśli # 5 pm 4sqrt (m + 1) ge 0 # lub

#m le (5/4) ^ 2-1 #

Jakie są wszystkie wartości dla k, dla których int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Zobacz poniżej. int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) i k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3), ale k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) i k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2), więc k ^ 6 -2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) lub {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} to w końcu wartości realne k = {-2,2} wartości zespolone k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3}

Jakie są wartości całkowite k, dla których równanie (k-2) x ^ 2 + 8x + (k + 4) = 0) ma oba pierwiastki rzeczywiste, wyraźne i ujemne?

-6 <k <4 Aby korzenie były rzeczywiste, wyraźne i prawdopodobnie ujemne, Delta> 0 Delta = b ^ 2-4ac Delta = 8 ^ 2-4 (k-2) (k + 4) Delta = 64-4 ( k ^ 2 + 2k-8) Delta = 64-4k ^ 2-8k + 32 Delta = 96-4k ^ 2-8k Od Delta> 0, 96-4k ^ 2-8k> 0 4k ^ 2 + 8k-96 < 0 (4k + 24) (k-4) <0 4 (k + 6) (k-4) <0 wykres {y = 4 (x + 6) (x-4) [-10, 10, -5, 5]} Z powyższego wykresu widzimy, że równanie jest prawdziwe tylko wtedy, gdy -6 <k <4 Dlatego też tylko liczby całkowite między -6 <k <4 mogą mieć korzenie ujemne, wyraźne i rzeczywiste

Jakie są cechy wykresu funkcji f (x) = (x + 1) ^ 2 + 2? Sprawdź wszystkie obowiązujące. Domena to wszystkie liczby rzeczywiste. Zakres to wszystkie liczby rzeczywiste większe lub równe 1. Punkt przecięcia y wynosi 3. Wykres funkcji wynosi 1 jednostkę w górę i

Pierwsze i trzecie są prawdziwe, drugie fałszywe, czwarte jest niedokończone. - Domena jest w rzeczywistości wszystkimi liczbami rzeczywistymi. Możesz przepisać tę funkcję jako x ^ 2 + 2x + 3, która jest wielomianem i jako taka ma domenę Mathbb {R} Zakres nie jest liczbą rzeczywistą większą niż lub równą 1, ponieważ minimum to 2. W fakt. (x + 1) ^ 2 to translacja pozioma (jedna jednostka po lewej) „strandard” parabola x ^ 2, która ma zakres [0, infty). Po dodaniu 2 przesuwasz wykres pionowo o dwie jednostki, więc zakres wynosi [2, nieskończoność] Aby obliczyć punkt przecięcia y, po prostu podłącz x = 0 w r&#