Jakie są wszystkie wartości dla k, dla których int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

i

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # ale

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # i

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # więc

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

lub

# {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

wreszcie

prawdziwe wartości #k = {-2,2} #

złożone wartości #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Odpowiedź:

# k = + - 2 #

Wyjaśnienie:

My wymagamy:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integracja dostajemy:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 kolor (biały) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Przy założeniu, że #k w RR # (są w rzeczywistości #6# korzenie #4# z czego są złożone)

Teraz, w zależności od kontekstu problemu, można się temu spierać #k <2 # (to znaczy # k = -2 #) jest nieprawidłowy jak #k> = 2 # aby wewnętrzna „właściwa” została wykluczona z tego rozwiązania, ale bez kontekstu rozsądne jest włączenie obu rozwiązań.

Zwróć także uwagę na to #k = + - 2 # mogą być rozwiązaniami bez rzeczywistej integracji.

Po pierwsze, właściwość określonych całek jest taka, że:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

więc możemy natychmiast ustalić # k = 2 # to rozwiązanie.

Po drugie, # x ^ 5 # jest dziwny funkcje i funkcje nieparzyste spełniają:

# f (-x) = f (x) #

i mają symetrię rotacyjną względem pochodzenia. jako taki, jeśli #f (x) # to dziwne:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

więc możemy natychmiast ustalić # k = -2 # to rozwiązanie.

Integracja i kolejne obliczenia dowodzą jednak, że są to jedyne rozwiązania!