Trójkąt równoramienny ma boki A, B i C o bokach B i C równych długości. Jeśli strona A przechodzi od (1, 4) do (5, 1), a pole trójkąta wynosi 15, jakie są możliwe współrzędne trzeciego rogu trójkąta?

Odpowiedź:

Dwa wierzchołki tworzą podstawę o długości 5, więc wysokość musi wynosić 6, aby uzyskać obszar 15. Stopa jest punktem środkowym punktów, a sześć jednostek w dowolnym kierunku prostopadłym daje # (33/5, 73/10)# lub #(- 3/5, - 23/10) #.

Wyjaśnienie:

Pro wskazówka: Staraj się trzymać konwencji małych liter dla boków trójkąta i liter dla wierzchołków trójkąta.

Otrzymujemy dwa punkty i obszar trójkąta równoramiennego. Te dwa punkty tworzą podstawę, # b = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

Stopa #FA# wysokości jest środkiem dwóch punktów, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Wektor kierunku między punktami to #(1-5, 4-1)=(-4,3)# z obliczoną siłą 5. Otrzymujemy wektor kierunkowy prostopadły, zamieniając punkty i negując jeden z nich: #(3,4)# który musi mieć także pięć wielkości.

Od okolicy # A = frak 1 2 b h = 15 # dostajemy # h = (2 * 15) /b=6.#

Więc musimy się ruszyć #6# jednostki z #FA# w dowolnym kierunku prostopadłym, aby uzyskać nasz trzeci wierzchołek, który wywołałem #DO#:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) lub C = (- 3/5, - 23/10) #

Czek: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Podpisany obszar to połowa produktu krzyżowego

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

To koniec, ale uogólnijmy nieco odpowiedź. Zapomnijmy o tym, że jest równoramienny. Jeśli mamy C (x, y), obszar jest określony przez formułę sznurowadła:

# A = frak 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Obszar jest #15#:

# 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4 lata #

# 49 = 3x + 4 lata # lub # -11 = 3x + 4 lata #

Więc jeśli wierzchołek C znajduje się na jednej z dwóch równoległych linii, będziemy mieli trójkąt o powierzchni 15.

Pozwolić # PR = A # być bokiem trójkąta równoramiennego o współrzędnych punktów końcowych w następujący sposób

#Pto (1,4) # i #Rto (5,1) #

Niech współrzędne trzeciego punktu trójkąta będą # (x, y) #.

Tak jak # (x, y) # jest w równej odległości od P i R możemy pisać

# (x-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => x = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

Jeszcze raz # (x, y) # będąc w równej odległości od P i R, pion spadł z # (x, y) # do # PR # musi go przeciąć, niech ta stopa prostopadłego lub środkowego punktu # PR # być # T #

Więc współrzędne #Tto (3,2,5) #

Teraz wysokość trójkąta równoramiennego

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2) #

I podstawa trójkąta równoramiennego

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Tak więc problem stanowi jego obszar

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2) = 6 #

# => (x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 …. 2 #

Otrzymujemy 2 i 1

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 #

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2,5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => y ^ 2-5y + 6.25 = 4.8 ^ 2 #

# => (y-2,5) ^ 2 = 4,8 ^ 2 #

# => y = 2.5pm4.8 #

Więc # y = 7.3 iy = -2.3 #

gdy # y = 7,3 #

# x = (9 + 6xx7.3) / 8=6.6#

gdy # y = -2.3 #

# x = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0,6 #

Tak więc współrzędne trzeciego punktu będą

# (66,7.3) do „Q na rysunku” #

LUB

# (- 0,6, -2,3) do „S na rysunku” #