Pokaż, że równanie x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie w [0, 1]?

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Przede wszystkim obliczmy #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # na granicy naszej domeny:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Jeśli obliczymy pochodną

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Widzimy, że zawsze jest pozytywny #0,1#. W rzeczywistości, # x ^ 2 + 1 # jest zawsze pozytywne i # 4x # jest oczywiście pozytywny, ponieważ # x # jest pozytywny.

Nasza funkcja zaczyna się poniżej # x # oś, ponieważ #f (0) <0 #i kończy powyżej # x # oś, ponieważ #f (1)> 0 #. Funkcja jest wielomianem, a więc jest ciągła.

Jeśli linia ciągła zaczyna się poniżej osi i kończy powyżej, oznacza to, że musiała ją przeciąć gdzieś pomiędzy. A fakt, że pochodna jest zawsze dodatnia, oznacza, że funkcja zawsze rośnie, a zatem nie może dwukrotnie przekroczyć osi, stąd dowód.