Jak znaleźć pochodną f (x) = (e ^ (2x) - 3lnx) ^ 4?

Odpowiedź:

# 4 (2e ^ (2x) - (3 / x)) × (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3 #

Wyjaśnienie:

Pochodna #f (x) # można obliczyć za pomocą reguły łańcucha, która mówi:

#f (x) # można zapisać jako funkcje złożone, gdzie:

#v (x) = e ^ (2x) -3lnx #

#u (x) = x ^ 4 #

Więc, #f (x) = u (v (x)) #

Stosowanie reguły łańcucha w funkcji złożonej #f (x) #mamy:

#color (fioletowy) (f '(x) = u (v (x))' #

#color (fioletowy) (f '(x) = v' (x) × u '(v (x))) #

Znajdźmy #color (fioletowy) (v '(x) #

Zastosowanie reguły łańcuchowej na pochodnej wykładniczej:

#color (czerwony) ((e ^ (g (x))) '= g' (x) × e ^ (g (x))) #

Znając pochodną #ln (x) # to mówi:

#color (brązowy) ((ln (g (x))) '= (g' (x)) / (g (x))) #

#color (fioletowy) (v '(x)) = kolor (czerwony) ((2x)' e ^ (2x)) - 3color (brązowy) ((x ') / (x)) #

#color (fioletowy) ((v '(x)) = 2e ^ (2x) - (3 / x)) #

Znajdźmy #color (niebieski) (u '(x)) #:

Zastosowanie pochodnej mocy jest następujące:

#color (zielony) (x ^ n = nx ^ (n-1) #

#color (niebieski) (u '(x)) = kolor (zielony) (4x ^ 3) #

Na podstawie powyższej zasady łańcucha musimy #u '(v (x)) # więc zastąpmy # x # przez #v (x) #:

#u '(v (x)) = 4 (v (x)) ^ 3 #

#color (fioletowy) (u '(v (x)) = 4 (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3) #

Zastąpmy wartości #u '(v (x)) #i #v '(x) # w powyższym łańcuchu powyżej mamy:

#color (fioletowy) (f '(x) = v' (x) × u '(v (x))) #

#color (fioletowy) (f '(x) = (2e ^ (2x) - (3 / x)) × 4 (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3) #

#color (fioletowy) (f '(x) = 4 (2e ^ (2x) - (3 / x)) × (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3) #