Suma serii 1 / (1 * 2) - 1 / (2 * 3) + 1 / (3 * 4) - .... do nieskończoności jest równa?

Odpowiedź:

Suma jest # = 2ln2-1 #

Wyjaśnienie:

Ogólny termin serii to # = (- 1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) #

Przeprowadzamy dekompozycję na częściowe ułamki

# 1 / (n (n + 1)) = A / n + B / (n + 1) #

# = (A (n + 1) + Bn) / (n (n + 1)) #

Więc, # 1 = A (n + 1) + Bn #

Gdy # n = 0 #, #=>#, # 1 = A #

Gdy # n = -1 #, #=>#, # 1 = -B #

W związku z tym, # 1 / (n (n + 1)) = 1 / n-1 / (n + 1) #

# (- 1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) = (- 1) ^ (n + 1) / n - (- 1) ^ (n + 1) / (n + 1) #

# sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) = sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n-sum_0 ^ oo (-1) ^ (n +1) / (n + 1) #

#ln (1 + x) = sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n * x ^ n #

# sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n = ln2 #

# sum_0 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / (n + 1) = sum_0 ^ 1 (-1) ^ (n + 1) / (n + 1) -sum_1 ^ oo (-1) ^ (n) x ^ (n + 1) / (n + 1) #

# sum_0 ^ oo (-1) ^ (n) x ^ (n + 1) / (n + 1) = 1-ln (1 + x) #

# sum_0 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / (n + 1) = 1-ln2 #

# sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) = ln2- (1-ln2) = 2ln2-1 #