Jaka jest maksymalna liczba 3-cyfrowych liczb całkowitych, które mają co najmniej jedną cyfrę nieparzystą?

Odpowiedź:

997, 998 i 999.

Wyjaśnienie:

Jeśli liczby mają co najmniej jedną cyfrę nieparzystą, aby uzyskać najwyższe liczby, wybierzmy 9 jako pierwszą cyfrę. Nie ma ograniczeń co do pozostałych cyfr, więc liczby całkowite mogą wynosić 997, 998 i 999.

Lub chciałeś powiedzieć NA NAJBARDZIEJ jednej nieparzystej cyfrze.

Wybierzmy więc ponownie 9. Inne cyfry nie mogą być dziwne. Ponieważ w trzech kolejnych liczbach przynajmniej jeden musi być nieparzysty, nie możemy mieć trzech kolejnych numerów, w których 9 to pierwsza cyfra.

Musimy więc zmniejszyć pierwszą cyfrę do 8. Jeśli druga cyfra to 9, nie możemy mieć trzech kolejnych liczb tylko z liczbami parzystymi, chyba że ostatnia z tych liczb i 890, a pozostałe to 889 i 888.

Odpowiedź:

#111#

Wyjaśnienie:

Jeśli poprawnie zinterpretuję pytanie, prosi o długość najdłuższej sekwencji kolejnych #3#-digit liczby całkowite, tak aby każda liczba całkowita zawierała co najmniej jedną cyfrę nieparzystą.

Każda taka sekwencja musiałaby zawierać również #100-199#, #300-399#, #500-599#, #700-799#lub #900-999#.

Możemy odrzucić #100=199# jak dla każdej innej sekwencji uzyskujemy dodatkowe wartości odejmując od dolnego końca, podczas gdy dla #100# wchodzilibyśmy do środka #2#-digit liczby całkowite, które są niedozwolone.

Jak dodanie #1# do dowolnego z #399, 599, 799, 999# generuje liczbę całkowitą bez cyfr nieparzystych lub więcej niż #3# cyfry, jedna z nich będzie największą liczbą całkowitą w sekwencji. Ponieważ nie ma korzyści z wyboru jednego na drugiego, możemy wybrać losowo, powiedzmy, #399#.

Odliczanie, jak wszystkie #300#s mają pierwszą cyfrę jako nieparzystą, musimy tylko zwrócić uwagę, gdy wchodzimy #200#s. Odliczając wszystkie #290#s mają drugą cyfrę jako nieparzystą i #289# ma trzecią cyfrę jako nieparzystą. Poza tym uderzamy #288# co złamałoby sekwencję. Podobnie, gdybyśmy spróbowali z innym punktem wyjścia, stwierdzilibyśmy, że najdłuższą sekwencją, jaką moglibyśmy wygenerować, byłaby sekwencja

#289-399#, #489-599#, #689-799#lub #889-999#.

każdy z nich ma długość #111#.

Znając wzór na sumę N liczb całkowitych a) jaka jest suma pierwszych N kolejnych liczb całkowitych kwadratowych, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Suma pierwszych N kolejnych liczb całkowitych sześcianu Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Dla S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Mamy sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3 sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3 sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 rozwiązywanie dla sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni ale sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 tak sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n +1) ^ 3 /

Udowodnij pośrednio, jeśli n ^ 2 jest liczbą nieparzystą, a n jest liczbą całkowitą, to n jest liczbą nieparzystą?

Dowód przez sprzeczność - patrz poniżej Mówi się nam, że n ^ 2 jest liczbą nieparzystą, a n w ZZ:. n ^ 2 w ZZ Załóżmy, że n ^ 2 jest nieparzyste, a n jest parzyste. Więc n = 2k dla niektórych k ZZ i n ^ 2 = nxxn = 2kxx2k = 2 (2k ^ 2), która jest parzystą liczbą całkowitą:. n ^ 2 jest równe, co przeczy naszemu założeniu. Dlatego musimy dojść do wniosku, że jeśli n ^ 2 jest nieparzyste, n musi być również dziwne.

Udowodnij to pośrednio, jeśli n ^ 2 jest liczbą nieparzystą, a n jest liczbą całkowitą, to n jest liczbą nieparzystą?

N jest współczynnikiem n ^ 2. Ponieważ liczba parzysta nie może być współczynnikiem liczby nieparzystej, n musi być liczbą nieparzystą.