Odpowiedź:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Wyjaśnienie:
Aby ten problem miał sens # 4-9x ^ 2> = 0 #, więc # -2 / 3 <= x <= 2/3 #. Dlatego możemy wybrać # 0 <= u <= pi # takie # x = 2 / 3cosu #. Używając tego, możemy zastąpić zmienną x w całce za pomocą # dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # tutaj używamy tego # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # i to za # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Teraz używamy integracji według części do znalezienia # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. W związku z tym # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Więc znaleźliśmy #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, teraz zastępujemy # x # powrót do # u #, za pomocą # u = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, więc #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
Możemy to jeszcze bardziej uprościć, używając definicji sinusów i cosinusów w kategoriach trójkątów. Dla trójkąta prostokątnego z kątem # u # w jednym z prawych narożników # sinu = "przeciwna strona" / "najdłuższy bok" #, podczas # cosu = "sąsiednia strona" / "najdłuższy bok" #, ponieważ wiemy # cosu = (3x) / 2 #, możemy wybrać sąsiednią stronę # 3x # i najdłuższy bok #2#. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy stronę przeciwną #sqrt (4-9x ^ 2) #, więc #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. W związku z tym #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
