Jak zintegrować int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 przy użyciu podstawień trigów?

Odpowiedź:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (1/2) (tan ^ -1 (x) + x / (1 + x ^ 2)) #

Wyjaśnienie:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #

Posługiwać się # x = tan (a) #

# dx = sec ^ 2 (a) da #

# intdx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = int (sec ^ 2 (a) da) / (1 + tan ^ 2a) ^ 2 #

Użyj tożsamości # 1 + tan ^ 2 (a) = sec ^ 2 (a) #

# intdx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = int (sec ^ 2 (a) da) / sec ^ 4 (a) #

# = int (da) / sec ^ 2 (a) #

# = int cos ^ 2 (a) da #

# = int ((1 + cos (2a)) / 2) da #

# = (1/2) (int (da) + int cos (2a) da) #

# = (1/2) (a + sin (2a) / 2) #

# = (1/2) (a + (2sin (a) cos (a)) / 2) #

# = (1/2) (a + sin (a).cos (a)) #

wiemy to # a = tan ^ -1 (x) #

#sin (a) = x / (sqrt (1 + x ^ 2) #

#cos (a) = x / (sqrt (1 + x ^ 2 #

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (1/2) (tan ^ -1 (x) + sin (sin ^ -1 (x / (sqrt (1 + x ^ 2))) cos (cos ^ -1 (1 / (sqrt (1 + x ^ 2)))) #

# = (1/2) (tan ^ -1 (x) + (x / (sqrt (1 + x ^ 2)) 1 / sqrt (1 + x ^ 2)) #

# = (1/2) (tan ^ -1 (x) + x / (1 + x ^ 2)) #

Odpowiedź:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1/2 (arctan (x) + x / (x ^ 2 + 1)) #

Wyjaśnienie:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # wykonanie zamiany

#x = tan (y) # i konsekwentnie

#dx = dy / (cos (y) ^ 2) #

mamy

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 equiv int dy / (cos (y) ^ 2 (1 / cos (y) ^ 4)) = int cos (y) ^ 2dy #

ale

# d / (dy) (sin (y) cos (y)) = cos (y) ^ 2-sin (y) ^ 2 = 2 cos (y) ^ 2-1 #

następnie

#int cos (y) ^ 2 dy = 1/2 (y + sin (y) cos (y)) #

Wreszcie, przypominając #y = arctan (x) # mamy

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1/2 (arctan (x) + x / (x ^ 2 + 1)) #

Jak zintegrować int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) przy użyciu ułamków częściowych?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Musimy znaleźć A, B, C takie, że 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) dla wszystkich x. Pomnóż obie strony przez x ^ 2 (2x-1), aby uzyskać 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Równania współczynników dają nam {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} A zatem mamy A = -2, B = -1, C = 4. Zastępując to w początkowym równaniu, otrzymujemy 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Teraz zintegrujmy termin przez termin int (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx, aby uzyskać 2ln | 2x-1 | -2l

Jak zintegrować int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) przy użyciu ułamków częściowych?

= int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x

Jak zintegrować int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) przy użyciu ułamków częściowych?

Int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o Ustaw równanie do rozwiązania dla zmiennych A, B, C int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2) dx Rozwiążmy najpierw A, B, C (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1 ) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 LCD = (x-1) (x + 1) ^ 2 (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x- 1) (x + 1) ^ 2) Uprość (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B ( x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1)