Odpowiedź:
#3#
Wyjaśnienie:
Pozwolić
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
gdzie ograniczamy nasze rozwiązanie do pozytywnego, ponieważ bierzemy tylko dodatni pierwiastek kwadratowy, tj. #x> = 0 #. Mamy kwadraturę po obu stronach
# x ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# => x ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
Gdzie tym razem ograniczamy lewą stronę do dodatniej, ponieważ chcemy tylko dodatniego pierwiastka kwadratowego, tj.
# x ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #
gdzie wyeliminowaliśmy możliwość #x <= - sqrt (7) # używając naszego pierwszego ograniczenia.
Znów mamy kwadraty obu stron
# (x ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
Wyrażenie w powtarzających się pierwiastkach kwadratowych jest oryginalnym wyrażeniem dla # x #, w związku z tym
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
lub
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Rozwiązania próbne tego równania są # x = -2 # i # x = + 3 # co powoduje następujące faktoryzowanie
# (x + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
Używanie wzoru kwadratowego na trzecim czynniku # (x ^ 2 + x-7) = 0 # daje nam jeszcze dwa korzenie:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2.19 ”i„ -3.19 #
Cztery korzenie wielomianu są zatem #-3.19…, -2, 2.19…, # i #3#. Tylko jedna z tych wartości spełnia nasze ograniczenie #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #, w związku z tym
# x = 3 #
Odpowiedź:
Inny sposób
Wyjaśnienie:
Chciałbym omówić podstępny sposób na szybkie rozwiązanie problemu powtarzających się pierwiastków kwadratowych, jak poniżej
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
gdzie # r # należy do następujących serii
#3,7,13,21,31…………#, którego ogólny termin jest podany przez
# m ^ 2-m + 1 # gdzie # m epsilon N # i #m> 1 #
SZTUCZKA
Jeśli 1 jest odejmowane od podanego numeru # m ^ 2-m + 1 # wynikowa liczba staje się # m ^ 2-m # który jest #m (m-1) # i który jest niczym innym, jak produktem dwóch kolejnych liczb i większym z tych dwóch, będzie unikalnym rozwiązaniem problemu.
kiedy r = # m ^ 2-m + 1 # współczynnik # m ^ 2-m + 1-1 # = # (m-1) m # a m jest odpowiedzią
gdy r = 3, współczynnik (3-1) = 2 = 1,2 i 2 jest odpowiedzią
gdy r = 7, współczynnik (7-1) = 6 = 2,3 i 3 stanowi odpowiedź
i tak dalej…….
Wyjaśnienie
Nabierający
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Wyrównywanie obu stron
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Ponownie kwadratura obu stron
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2 r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2 r) ^ 2-r + x = 0 #
putting r = # m ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
jeśli umieścimy x = m w LHS tego równania, LHS stanie się
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (anuluj (m ^ 2) - anuluj (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (m-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
równanie jest spełnione.
Stąd m jest odpowiedzią
włóżmy
# x = sqrt (7 + sqrt (7- sqrt (7 + sqrt (7-sqrt …. #
Łatwo to zauważyć
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
Rozwiążmy więc równanie:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
To nie jest trywialne równanie do rozwiązania. Jedna z pozostałych osób, które odpowiedziały na pytanie, skierowała rozwiązanie 3. Jeśli spróbujesz, zobaczysz, że to prawda.
